МатематикаГеометрия

Как найти площадь квадрата: формулы и примеры

Узнайте, как найти площадь квадрата по стороне, периметру, диагонали и радиусам окружностей. Пошаговые формулы с примерами и задачами для школьников.

Калькулятор площади квадрата

Введите известное значение
Длина стороны квадрата в сантиметрах

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (315) →

Площадь квадрата: основы

Площадь квадрата — это площадь поверхности, ограниченной его четырьмя сторонами. Поскольку все стороны квадрата равны, а углы прямые, вычисления упрощаются. Площадь обозначается буквой S и измеряется в квадратных единицах (см², м², км² и т.д.).

Ключевое правило: все измерения должны быть в одних и тех же единицах. Если сторона дана в дециметрах, а ответ требуется в сантиметрах — переведите всё к сантиметрам.

1. Через длину стороны (основная формула)

Это самый простой и часто используемый способ.

Формула:

S=a2S = a^2

где aa — длина стороны квадрата.

Пример: найдите площадь квадрата со стороной 7 см.

S=72=49 см2S = 7^2 = 49 \text{ см}^2

Ответ: 49 см².

2. Через периметр

Периметр квадрата равен сумме всех сторон: P=4aP = 4a. Отсюда сторона a=P/4a = P/4.

Подставляем в основную формулу:

S=(P4)2=P216S = \left(\frac{P}{4}\right)^2 = \frac{P^2}{16}

Пример: периметр квадрата равен 36 см. Найдите его площадь.

a=364=9 смa = \frac{36}{4} = 9 \text{ см} S=92=81 см2S = 9^2 = 81 \text{ см}^2

Или сразу:

S=36216=129616=81 см2S = \frac{36^2}{16} = \frac{1296}{16} = 81 \text{ см}^2

Ответ: 81 см².

3. Через диагональ

Диагональ квадрата соединяет противоположные вершины. По теореме Пифагора: d2=a2+a2=2a2d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2. Отсюда a2=d2/2a^2 = d^2/2, а значит:

S=d22S = \frac{d^2}{2}

Пример: диагональ квадрата равна 10 см. Найдите площадь.

S=1022=1002=50 см2S = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ см}^2

Ответ: 50 см².

4. Через радиус вписанной окружности

Вписанная окружность касается всех сторон квадрата. Её радиус rr равен половине стороны: r=a/2r = a/2, отсюда a=2ra = 2r.

S=a2=(2r)2=4r2S = a^2 = (2r)^2 = 4r^2

Пример: радиус вписанной окружности равен 5 см.

S=4⋅52=4⋅25=100 см2S = 4 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100 \text{ см}^2

Ответ: 100 см².

5. Через радиус описанной окружности

Описанная окружность проходит через все вершины квадрата. Её радиус RR равен половине диагонали: R=d/2R = d/2.

Из формулы S=d2/2S = d^2/2 подставляем d=2Rd = 2R:

S=(2R)22=4R22=2R2S = \frac{(2R)^2}{2} = \frac{4R^2}{2} = 2R^2

Пример: радиус описанной окружности равен 8 см.

S=2⋅82=2⋅64=128 см2S = 2 \cdot 8^2 = 2 \cdot 64 = 128 \text{ см}^2

Ответ: 128 см².

Сводная таблица формул

Что даноФормула площади
Сторона aaS=a2S = a^2
Периметр PPS=P216S = \dfrac{P^2}{16}
Диагональ ddS=d22S = \dfrac{d^2}{2}
Радиус вписанной окружности rrS=4r2S = 4r^2
Радиус описанной окружности RRS=2R2S = 2R^2

Решение типовых задач

Задача 1. Сторона квадрата равна 12 см. Найдите его площадь.

S=122=144 см2S = 12^2 = 144 \text{ см}^2

Задача 2. Периметр квадрата равен 48 м. Найдите площадь.

a=484=12 м,S=122=144 м2a = \frac{48}{4} = 12 \text{ м}, \quad S = 12^2 = 144 \text{ м}^2

Задача 3. Диагональ квадрата равна 25 см. Найдите площадь.

S=2522=6252=312,5 см2S = \frac{25^2}{2} = \frac{625}{2} = 312{,}5 \text{ см}^2

Задача 4. В квадрат вписана окружность радиуса 6 см. Найдите площадь квадрата.

S=4⋅62=4⋅36=144 см2S = 4 \cdot 6^2 = 4 \cdot 36 = 144 \text{ см}^2

Задача 5. Вокруг квадрата описана окружность радиуса 10 м. Найдите площадь квадрата.

S=2⋅102=2⋅100=200 м2S = 2 \cdot 10^2 = 2 \cdot 100 = 200 \text{ м}^2

Частые ошибки

  1. Несоответствие единиц измерения. Перед вычислениями всегда приводите все значения к одной системе.

  2. Путаница между радиусами. Вписанная окружность имеет радиус r=a/2r = a/2, описанная — R=d/2=a2/2R = d/2 = a\sqrt{2}/2.

  3. Забывание квадратных единиц. Площадь всегда выражается в квадратных единицах: см², м², км².

  4. Ошибка в формуле через периметр. Не P2/4P^2/4, а P2/16P^2/16, потому что a=P/4a = P/4, а S=a2=(P/4)2S = a^2 = (P/4)^2.

Часто задаваемые вопросы

Что такое площадь квадрата?
Площадь квадрата — это количество квадратных единиц, которыми покрывается его поверхность. Обозначается буквой S и измеряется в квадратных сантиметрах, метрах и других единицах.
Какая формула площади квадрата через сторону?
Основная формула: S = a², где a — длина стороны квадрата. Умножьте сторону саму на себя или возведите в квадрат.
Как найти площадь квадрата через периметр?
Сначала найдите сторону: a = P/4, затем подставьте в S = a². Или сразу используйте: S = P²/16.
Можно ли найти площадь квадрата по диагонали?
Да, формула: S = d²/2, где d — длина диагонали. Возведите диагональ в квадрат и разделите на два.
Как вычислить площадь квадрата через радиус окружности?
Через радиус вписанной окружности: S = 4r². Через радиус описанной окружности: S = 2R².
В каких единицах измеряется площадь квадрата?
В квадратных единицах: мм², см², дм², м², км², га. Всегда приводите измерения к одной системе перед вычислениями.