МатематикаГеометрия

Как найти медиану треугольника

Узнайте, как вычислить длину медианы треугольника по сторонам или углу. Формулы, свойства, пошаговые примеры и онлайн-калькулятор.

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (257) →

Что такое медиана треугольника

Медианой называют отрезок внутри треугольника, соединяющий одну из его вершин с серединой противоположной стороны. В любом треугольнике можно провести ровно три медианы — по одной из каждой вершины. Обычно их обозначают mₐ, m_b, m_c, где индекс указывает, к какой стороне проведён отрезок.

Если перед глазами схема, всё становится проще: середина стороны BC — точка M, отрезок AM из вершины A в точку M и будет медианой. Именно её длина интересует нас, когда нужно «найти медиану треугольника».

Основная формула длины медианы через три стороны

Самый универсальный способ найти медиану — знать длины всех трёх сторон треугольника. Тогда длина медианы, проведённой к стороне a, вычисляется по классической формуле:

ma=122b2+2c2−a2m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}

где:

  • a — сторона, к которой проведена медиана,
  • b и c — две другие стороны.

Аналогично записываются m_b и m_c — достаточно циклически переставить длины.

Откуда берётся эта формула

Чаще всего её вывод опирается на теорему косинусов или на приём «удвоения медианы». Если продлить медиану на её длину за середину стороны, треугольник достраивается до параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон — из этого равенства и получается искомая формула. Этот подход не обязателен для вычислений, но объясняет, почему выражение выглядит именно так.

Как найти медиану через две стороны и угол между ними

Когда известны не три стороны, а две стороны и угол между ними, медиану к третьей стороне находят по похожей, но немного другой формуле. Например, если нужно найти m_c в треугольнике со сторонами a и b и углом C между ними, используют:

mc=12a2+b2+2abcos⁡Cm_c = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos C}

Здесь важно не перепутать знак: перед удвоенным произведением стоит плюс, а не минус, как в теореме косинусов для стороны c. Эта версия особенно удобна, когда стороны даны с углом — не нужно сначала вычислять третью сторону, а потом уже медиану.

Медиана в прямоугольном треугольнике — простой частный случай

Если треугольник прямоугольный, появляется красивое и простое свойство: медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поэтому, чтобы её найти, достаточно разделить длину гипотенузы на два.

Например, для классического египетского треугольника со сторонами 3, 4 и 5 (гипотенуза равна 5) медиана из прямого угла составит 2,5. Формула через стороны даст тот же результат, но частное правило сильно экономит время.

Полезные свойства медиан, которые помогают в расчётах

Не все свойства прямо подсказывают длину, но они часто нужны в задачах:

  • Три медианы пересекаются в одной точке — центроиде. Он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Медиана разрезает исходный треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
  • Все три медианы разбивают треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой.
  • В равностороннем треугольнике все три медианы равны, каждая из них одновременно высота и биссектриса.

Эти факты часто используют, чтобы свести задачу с неизвестной медианой к более простому расчёту — например, через площадь или через равенство отрезков.

Примеры: от чисел к готовому ответу

Разберём два расчёта — сначала по трём сторонам, затем по двум сторонам и углу.

Пример 1. Найти медиану к большей стороне

Дан треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Требуется найти длину медианы, проведённой к наибольшей стороне (15).

Принимаем a = 15, b = 13, c = 14. Подставляем в формулу:

ma=122⋅132+2⋅142−152m_a = \frac12\sqrt{2\cdot13^2 + 2\cdot14^2 - 15^2}

Считаем шаг за шагом:

  • 13² = 169, 2·169 = 338.
  • 14² = 196, 2·196 = 392.
  • 15² = 225.
  • Сумма под корнем: 338 + 392 − 225 = 505.
  • Корень из 505 ≈ 22,472.
  • Половина: 22,472 / 2 ≈ 11,236.

Ответ: m_a ≈ 11,24 (уточняйте округление по необходимости).

Пример 2. Медиана через две стороны и угол

Дан треугольник со сторонами a = 7, b = 8 и углом C = 60° между ними. Найдём медиану к стороне c, то есть m_c.

Используем вторую формулу:

mc=1272+82+2⋅7⋅8⋅cos⁡60∘m_c = \frac12\sqrt{7^2 + 8^2 + 2\cdot7\cdot8\cdot\cos 60^\circ}

cos 60° = 0,5, поэтому:

  • 7² = 49, 8² = 64. Сумма 113.
  • Добавка: 2·7·8·0,5 = 56.
  • Под корнем: 113 + 56 = 169.
  • Корень из 169 = 13.
  • Половина = 6,5.

Ответ: m_c = 6,5. Ровный результат — приятный бонус к проверке.

Оба примера показывают, что для нахождения медианы достаточно аккуратно подставить числа, а остальное сделает арифметика. Для быстрых вычислений удобно пользоваться онлайн-калькулятором, но понимание хода расчёта помогает избежать ошибок вручную.

Часто задаваемые вопросы

Чему равна медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из прямого угла?
Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это следует из того, что прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, где диагонали равны и делятся пополам в точке пересечения.
Как найти медиану треугольника, если известны все стороны?
Воспользуйтесь формулой mₐ = ½√(2b² + 2c² − a²), где a — сторона, к которой проведена медиана, b и c — две другие стороны. Просто подставьте длины сторон и выполните вычисления.
Всегда ли медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника?
Да, медиана всегда делит треугольник на два равновеликих треугольника, то есть на треугольники с одинаковой площадью. Причина в том, что основания у них равны (медиана делит сторону пополам), а высота из общей вершины одна и та же.
Как связана медиана с центром тяжести треугольника?
Все три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины к середине противоположной стороны.
Можно ли найти сторону треугольника по трём медианам?
Да, существует обратная формула: a = ⅔√(2m_b² + 2m_c² − m_a²), где mₐ — медиана к стороне a, m_b и m_c — к сторонам b и c. Она выводится из основной формулы длины медианы и позволяет восстановить стороны по известным медианам.
В каком классе проходят медиану треугольника?
Определение и базовые свойства медианы обычно изучают в 7 классе на уроках геометрии. Формулы для вычисления длины медианы и более сложные задачи появляются в 8–9 классах, а также в 11 классе при подготовке к ЕГЭ.
Чем отличается медиана от биссектрисы и высоты?
Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, биссектриса делит угол при вершине пополам, а высота опускается из вершины на противоположную сторону под прямым углом. В равностороннем треугольнике все три отрезка совпадают, но в общем случае они разные.