Как найти координаты вектора по двум точкам

Координаты вектора — это числа, которые показывают, на сколько единиц нужно сместиться вдоль каждой оси координат, чтобы перейти от начала вектора к его концу. Если известны координаты двух точек — начала и конца, — найти координаты вектора можно за одно действие.

Формула для нахождения координат вектора

Пусть даны две точки: $A(x_A; y_A)$ — начало вектора, $B(x_B; y_B)$ — его конец. Тогда координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ находятся по формуле:

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\; y_B - y_A)$

Для трёхмерного пространства (с осью аппликат $z$) добавится третья координата:

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A;\; y_B - y_A;\; z_B - z_A)$

Ключевой момент: из координат конца вычитаем координаты начала. Порядок важен — если поменять местами, получится противоположно направленный вектор.

Примеры вычислений

Пример 1. Плоскость (две координаты)

Даны точки $A(1; 2)$ и $B(4; 6)$. Найти $\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB} = (4 - 1;\; 6 - 2) = (3;\; 4)$

Проверка: если от точки $A$ сместиться на 3 вправо и на 4 вверх, попадём в точку $B$. Всё верно.

Пример 2. Трёхмерное пространство

Даны точки $A(1; 0; -2)$ и $B(3; 4; 1)$. Найти $\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB} = (3 - 1;\; 4 - 0;\; 1 - (-2)) = (2;\; 4;\; 3)$

Если бы мы искали $\overrightarrow{BA}$ (от $B$ к $A$), получили бы $(-2; -4; -3)$ — противоположный вектор.

Частные случаи и подсказки

• Если начало вектора совпадает с началом координат ($A(0;0)$), то координаты вектора равны координатам его конца. Такой вектор называют радиус-вектором точки $B$.
• Если точки совпадают ($A = B$), получается нулевой вектор: все его координаты равны нулю.
• Координаты вектора не зависят от того, где он расположен — только от разности координат его концов. Два параллельных равных отрезка, сдвинутых в разные места, имеют одинаковые координаты.

Почему формула работает?

Геометрический смысл: чтобы попасть из точки $A$ в точку $B$, нужно сначала изменить координату $x$ на $x_B - x_A$, затем координату $y$ на $y_B - y_A$ (и $z$, если пространство трёхмерное). Эти изменения и есть координаты вектора. Можно представлять, что вектор — это «инструкция» по перемещению, а не привязанный к месту отрезок.

Типичные ошибки

1. Путают порядок вычитания. Если вычесть из начала конец, получится вектор с противоположным направлением. Всегда проверяйте: из координат конца минус начало.
2. Забывают про третью координату. В трёхмерных задачах нужно вычитать по всем трём осям, иначе результат будет неверным.
3. Складывают координаты вместо вычитания. Координаты вектора — это именно разность, а не сумма.

Как проверить себя

После того как нашли координаты вектора, сделайте обратное действие: прибавьте их к координатам начала. Если получились координаты конца — расчёт правильный.

Например, для примера 1: $(1 + 3;\; 2 + 4) = (4; 6)$ — совпало с $B$.

Зачем это нужно?

Умение находить координаты вектора по двум точкам — база для многих задач:

• вычисление длины (модуля) вектора;
• определение коллинеарности векторов;
• нахождение угла между векторами через скалярное произведение;
• решение задач на движение и силы в физике.

Освоив эту простую формулу, вы сможете решать более сложные геометрические и физические задачи с помощью метода координат.