Координаты середины отрезка

Формула координат середины отрезка

Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому соответствующих координат его концов.

На плоскости: если концы отрезка имеют координаты A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), то середина M имеет координаты:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

В пространстве: для точек A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) добавляется третья координата:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}, \quad z_M = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Как применять формулу: пошаговый алгоритм

Шаг 1. Запишите координаты концов отрезка: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂).

Шаг 2. Сложите соответствующие координаты: x₁ + x₂ и y₁ + y₂.

Шаг 3. Разделите каждую сумму на 2.

Шаг 4. Запишите результат как координаты точки M.

Примеры решения задач

Пример 1. Базовая задача на плоскости

Условие: Найти координаты середины отрезка AB, если A(−4, 2) и B(6, 8).

Решение:

• x_M = (−4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1
• y_M = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5

Ответ: M(1, 5).

Пример 2. Задача с отрицательными координатами

Условие: Найти середину отрезка CD, если C(−3, −7) и D(5, −1).

Решение:

• x_M = (−3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1
• y_M = (−7 + (−1)) / 2 = −8 / 2 = −4

Ответ: M(1, −4).

Важно: при сложении двух отрицательных чисел результат остаётся отрицательным.

Пример 3. Трёхмерное пространство

Условие: Найти координаты середины отрезка AB, если A(2, −4, 6) и B(−6, 8, −2).

Решение:

• x_M = (2 + (−6)) / 2 = −4 / 2 = −2
• y_M = (−4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2
• z_M = (6 + (−2)) / 2 = 4 / 2 = 2

Ответ: M(−2, 2, 2).

Пример 4. Обратная задача — найти конец отрезка

Условие: Середина отрезка AB имеет координаты M(3, 5), один конец — A(1, 2). Найти координаты B.

Решение: Используем обратные формулы: xb = 2xm − xa, yb = 2ym − ya.

• x_B = 2 × 3 − 1 = 5
• y_B = 2 × 5 − 2 = 8

Ответ: B(5, 8).

Пример 5. Найти середину как точку пересечения диагоналей

Условие: В параллелограмме ABCD вершины A(1, 2), C(7, 8). Найти точку пересечения диагоналей.

Решение: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому искомая точка — середина отрезка AC.

• x_M = (1 + 7) / 2 = 4
• y_M = (2 + 8) / 2 = 5

Ответ: M(4, 5).

Практическое применение формулы

Формула середины отрезка используется в задачах:

• Нахождение медианы треугольника — отрезок от вершины до середины противоположной стороны
• Центр масс — центр тяжести системы из двух равных точечных масс
• Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон
• Симметрия относительно точки — точка симметричная A относительно M лежит на продолжении отрезка AM на таком же расстоянии
• Деление отрезка в заданном отношении — середина является частным случаем деления 1:1

Распространённые ошибки

Обобщение формулы

Формула середины отрезка — частный случай формулы деления отрезка в данном отношении.

Если отрезок AB делится точкой M в отношении λ:μ (от A к B), то:

$x_M = \frac{\lambda \cdot x_B + \mu \cdot x_A}{\lambda + \mu}$

При λ = μ = 1 (деление пополам) получаем классическую формулу середины.