Как найти градусные меры смежных углов

Градусные меры смежных углов находят через одно базовое свойство: их сумма всегда равна $180^\circ$. Если известен один угол, второй вычисляется вычитанием. Если даны разница или отношение — составляется уравнение. Разберём все типовые случаи с формулами и примерами.

Какие углы называются смежными

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами, то есть вместе образуют прямую.

Проще всего увидеть смежные углы так: берём развёрнутый угол ($180^\circ$) и проводим из его вершины луч внутри. Этот луч делит развёрнутый угол на два угла — они и есть смежные. У них общая сторона (проведённый луч), а две оставшиеся стороны лежат на одной прямой.

Свойство смежных углов: сумма равна 180°

Проведённый луч разбивает развёрнутый угол на две части, поэтому градусные меры этих частей в сумме дают градусную меру целого:

Отсюда два рабочих правила для любой задачи:

• смежный угол к углу $\alpha$ равен $180^\circ - \alpha$;
• зная оба угла, всегда можно проверить себя: их сумма должна дать ровно $180^\circ$.

Из этого свойства следуют важные выводы:

• смежный с прямым углом ($90^\circ$) — тоже прямой;
• смежный с острым — обязательно тупой, и наоборот;
• два смежных угла не могут быть оба острыми или оба тупыми;
• если два угла равны, то равны и смежные с ними углы.

Случай 1. Известен один из углов

Самая простая задача: один угол дан, второй — смежный с ним. Используем формулу вычитания.

Пример. Один из смежных углов равен $70^\circ$. Найдите второй.

Ответ: $110^\circ$.

Случай 2. Известна разница углов

Если в условии сказано «один больше другого на …», вводим переменную и составляем уравнение.

Пример. Один из смежных углов на $40^\circ$ больше другого. Найдите градусные меры обоих.

Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший равен $x + 40$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

Меньший угол — $70^\circ$, больший — $70 + 40 = 110^\circ$.

Проверка: $70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$, разница $110 - 70 = 40^\circ$. Сходится.

Случай 3. Известно отношение углов

Если градусные меры относятся как $a : b$, то числа отношения — это количество равных частей, а не градусы. Обозначаем одну часть через $x$.

Пример. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как $19 : 26$.

Пусть один угол равен $19x$, другой — $26x$. Тогда:

Градусные меры углов: $19 \cdot 4 = 76^\circ$ и $26 \cdot 4 = 104^\circ$.

Проверка: $76^\circ + 104^\circ = 180^\circ$, а отношение $76 : 104$ после сокращения на 4 даёт $19 : 26$.

Случай 4. Углы при пересечении двух прямых

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла: две пары вертикальных (лежат напротив друг друга и равны) и четыре пары смежных (каждые два соседних). Достаточно знать один угол — остальные восстанавливаются по двум правилам.

Пример. При пересечении двух прямых один из углов равен $43^\circ$. Найдите остальные.

• Смежный к нему: $180^\circ - 43^\circ = 137^\circ$.
• Вертикальный к данному: $43^\circ$ (равен исходному).
• Оставшийся угол: $137^\circ$ (смежный и вертикальный к найденным).

Проверка: сумма всех четырёх углов вокруг точки пересечения равна полному обороту: $43 + 137 + 43 + 137 = 360^\circ$.

Угол между биссектрисами смежных углов

Классическая задача: найти угол между биссектрисами двух смежных углов. Биссектриса делит угол пополам, поэтому сумма половинок равна:

Угол между биссектрисами смежных углов всегда равен $90^\circ$, независимо от величин самих углов.

Типичные ошибки

Числа отношения принимают за градусы. Увидев отношение $19 : 26$, нельзя писать $19 + 26 = 180$. Числа отношения — это части, одну часть нужно обозначить через $x$.

Останавливаются на значении переменной. Если нашли $x = 70^\circ$, это ещё не ответ: часто вопрос требует вычислить второй угол ($110^\circ$) или оба. Перечитывайте вопрос перед записью ответа.

Забывают проверку. Сложите найденные углы — сумма обязана дать ровно $180^\circ$. Если не дала, в уравнении ошибка.

Общий алгоритм

1. Определите, что известно: один угол, разница, отношение или отношение в процентах.
2. Запишите основное свойство: сумма смежных углов равна $180^\circ$.
3. Введите переменную $x$, если углы связаны условием («больше на», «меньше в», «относятся как»).
4. Составьте уравнение и решите его.
5. Вычислите градусные меры обоих углов — не только значение $x$.
6. Проверьте: сумма должна равняться $180^\circ$.