МатематикаГеометрия

Как найти градус угла треугольника

Как найти градус угла треугольника по двум углам, сторонам, катетам или биссектрисе. Формулы с примерами расчёта.

Метод расчёта

По двум известным углам

α = 180° − β − γ

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (246) →

По двум известным углам

Самый простой способ. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°. Если даны углы β и γ, третий угол вычисляется через вычитание:

α=180∘−β−γ\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma

Пример. Известны углы 45° и 60°. Третий угол: 180 − 45 − 60 = 75°.

Этот метод работает для любого типа треугольника — прямоугольного, равнобедренного или разностороннего.

По трём сторонам

Когда известны только длины сторон a, b, c, но неизвестны углы, применяют теорему косинусов. Чтобы найти угол α, лежащий напротив стороны a:

cos⁡(α)=b2+c2−a22bc\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} α=arccos⁡(b2+c2−a22bc)\alpha = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)

Аналогично находят β и γ, циклически переставляя буквы. Перед расчётом убедитесь, что стороны могут образовать треугольник: сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей.

Пример. Стороны 3, 4 и 5 см. Угол напротив стороны 3 см:

cos⁡(α)=42+52−322⋅4⋅5=3240=0,8\cos(\alpha) = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{32}{40} = 0{,}8 α=arccos⁡(0,8)≈36,87∘\alpha = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ

В прямоугольном треугольнике

Для прямоугольного треугольника (один угол 90°) существуют тригонометрические соотношения. Обозначим катеты a и b, гипотенузу c.

Если известны катет a и гипотенуза c:

sin⁡(α)=ac⇒α=arcsin⁡(ac)\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arcsin\left(\frac{a}{c}\right)

Если известны оба катета:

tan⁡(α)=ab⇒α=arctan⁡(ab)\tan(\alpha) = \frac{a}{b} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arctan\left(\frac{a}{b}\right)

Второй острый угол находится как β = 90° − α или через соотношение косинуса: cos(α) = b/c.

Пример. Катеты 6 см и 8 см, гипотенуза 10 см. Угол напротив катета 6 см:

tan⁡(α)=68=0,75\tan(\alpha) = \frac{6}{8} = 0{,}75 α≈36,87∘,β≈53,13∘\alpha \approx 36{,}87^\circ, \quad \beta \approx 53{,}13^\circ

По двум сторонам и углу между ними

Если даны стороны b и c и угол α между ними, найти противоположную сторону a можно через теорему косинусов:

a=b2+c2−2bc⋅cos⁡(α)a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)}

После этого оставшиеся углы вычисляют по теореме синусов:

asin⁡(α)=bsin⁡(β)=csin⁡(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} β=arcsin⁡(b⋅sin⁡(α)a)\beta = \arcsin\left(\frac{b \cdot \sin(\alpha)}{a}\right) γ=180∘−α−β\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

В равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике с основанием a и боковыми сторонами b углы при основании равны. Если известна высота h, опущенная на основание:

sin⁡(α)=hbилиtan⁡(α)=ha/2\sin(\alpha) = \frac{h}{b} \quad \text{или} \quad \tan(\alpha) = \frac{h}{a/2}

Угол при вершине γ = 180° − 2α.

Пример. Основание 8 см, боковая сторона 5 см. Высота к основанию:

h=52−42=3 смh = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \text{ см}

Угол при основании:

tan⁡(α)=34=0,75⇒α≈36,87∘\tan(\alpha) = \frac{3}{4} = 0{,}75 \Rightarrow \alpha \approx 36{,}87^\circ

Верхний угол: 180 − 2·36,87 ≈ 106,26°.

Проверка результата

После вычислений выполните контроль:

  • Сумма трёх углов должна составлять 180° (с точностью до погрешности округления).
  • Наибольший угол всегда лежит напротив наибольшей стороны.
  • Если один угол тупой (>90°), сумма квадратов двух меньших сторон меньше квадрата большей (проверка через теорему Пифагора).

Если проверка не сходится, пересмотрите исходные замеры или вычисления.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли найти угол треугольника, зная только длины сторон?
Да. При известных трёх сторонах используют теорему косинусов. Для каждого угла вычисляют арккосинус: например, угол напротив стороны a находится по формуле α = arccos((b² + c² − a²)/(2bc)).
Почему сумма углов треугольника равна 180 градусам?
Это аксиома евклидовой геометрии на плоскости. Доказывается через свойство параллельных прямых: проведя прямую через вершину, параллельную основанию, получаем, что внутренние углы в сумме составляют развёрнутый угол.
Как найти угол без транспортира в полевых условиях?
Измерьте три стороны линейкой, затем примените теорему косинусов. Либо, если это прямоугольный треугольник, измерьте катет и гипотенузу, найдите их отношение и воспользуйтесь таблицей арксинусов.
Что делать, если сумма найденных углов не равна 180°?
Проверьте исходные данные и вычисления. Если погрешность небольшая (до 0,1°), это результат округления. Если разница значительная, либо данные стороны не могут образовать треугольник, либо допущена ошибка в формуле.
Как найти угол в равнобедренном треугольнике?
Если известен угол при вершине γ, прилежащие углы находятся как α = (180° − γ)/2. Если известен угол при основании α, верхний угол γ = 180° − 2α. При известной биссектрисе и основании используйте тангенс: tg(α) = h/(a/2).