Как найти длину вектора: формулы и примеры

Что такое длина вектора

Длина вектора (или модуль, норма) — это числовое значение, показывающее, насколько «длинной» является стрелка, представляющая вектор. Геометрически это расстояние между начальной и конечной точками направленного отрезка.

Вектор обозначается латинской буквой со стрелкой ($\vec{a}$) или двумя буквами, указывающими на начало и конец ($\overrightarrow{AB}$). Его длина записывается как $|\vec{a}|$ или $|\overrightarrow{AB}|$.

Ключевые свойства:

• Длина всегда $\ge 0$.
• $|\vec{a}| = 0$ только если вектор нулевой (его начало и конец совпадают).
• Длина не зависит от того, где именно в пространстве расположен вектор, — только от его «размера» и направления.

Формула длины вектора по координатам

Самый частый способ вычисления основан на теореме Пифагора. Если вектор задан своими координатами, его длина равна квадратному корню из суммы квадратов координат.

Для плоскости (2D)

Если $\vec{a} = (x; y)$, то: $$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Для пространства (3D)

Если $\vec{b} = (x; y; z)$, то: $$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Общий случай (n-мерное пространство)

Для вектора с координатами $(x_1, x_2, …, x_n)$: $$|\vec{v}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2}$$

Пример 1:
Найдем длину вектора $\vec{a} = (3; 4)$.
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Пример 2:
Найдем длину вектора $\vec{b} = (1; -2; 2)$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Как найти длину вектора по двум точкам

Часто вектор задается не напрямую, а координатами его начала $A(x_1, y_1, z_1)$ и конца $B(x_2, y_2, z_2)$. Чтобы найти длину вектора $\overrightarrow{AB}$, нужно сначала найти его координаты (разность соответствующих координат точек), а затем применить формулу из предыдущего раздела.

Координаты вектора:
$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

Формула длины:
$$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Обратите внимание: эта формула полностью совпадает с формулой расстояния между двумя точками в пространстве.

Пример:
Даны точки $A(1; 2)$ и $B(4; 6)$. Найдем длину вектора $\overrightarrow{AB}$.

1. Координаты: $(4-1; 6-2) = (3; 4)$.
2. Длина: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Вычисление через скалярное произведение

Длину вектора можно выразить через его скалярное произведение на самого себя. Это полезно в аналитической геометрии и векторном анализе.

$$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$$

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданы своими координатами, их скалярное произведение равно сумме попарных произведений координат. Следовательно, длина — это квадратный корень из этого результата.

Нахождение длины через теорему косинусов

Если известны длины двух векторов и угол между ними, можно найти длину их суммы или разности, используя теорему косинусов. Это применяется, когда нужно найти длину результирующего вектора (например, в физике при сложении сил).

Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с углом $\phi$ между ними: $$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\phi}$$ $$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\phi}$$

Типичные ошибки при расчетах

1. Забывание корня. Часто путают сумму квадратов с самой длиной. Помните: длина — это корень из суммы квадратов.
2. Порядок вычитания координат. При расчете через точки $(x_2 - x_1)$ и $(x_1 - x_2)$ дадут одинаковый квадрат, так что порядок не важен для длины, но важен для направления самого вектора.
3. Игнорирование знаков. Координаты могут быть отрицательными, но при возведении в квадрат они становятся положительными. Ошибка возникает, если не поставить скобки: $-3^2 = -9$ (неправильно), $(-3)^2 = 9$ (правильно).
4. Сложение длин вместо векторов. Длина суммы векторов не равна сумме их длин (кроме случая сонаправленности).