Как найти диагональ
Диагональ – отрезок, соединяющий две несмежные (не соседние) вершины многоугольника или пространственной фигуры. Чтобы найти её длину, используют теорему Пифагора, теорему косинусов или специальные свойства конкретной фигуры.
Калькулятор выше вычисляет диагональ по сторонам прямоугольника, квадрата или прямого параллелепипеда. Достаточно задать известные размеры – два для плоских фигур, три для объёмных.
Диагональ прямоугольника
Диагональ прямоугольника – гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами. Применяют теорему Пифагора:
$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$Пример. Стороны 5 и 12 см:
$$d = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$Оба диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Именно по этой формуле рассчитывают диагональ экрана монитора или телевизора.
Диагональ квадрата
Квадрат – частный случай прямоугольника с a = b. Формула упрощается:
$$d = a\sqrt{2} \approx 1{,}414 \cdot a$$| Сторона, см | Диагональ, см |
|---|---|
| 1 | 1,414 |
| 5 | 7,071 |
| 10 | 14,142 |
| 20 | 28,284 |
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делят квадрат на четыре равных прямоугольных треугольника.
Как найти диагональ параллелограмма
В параллелограмме две диагонали имеют разную длину. Для каждой применяют теорему косинусов:
$$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha}$$$$d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha}$$Здесь $a$ и $b$ – стороны, $\alpha$ – угол между ними, $180° - \alpha$ – смежный угол.
Связь между диагоналями (теорема параллелограмма):
$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$Пример. Стороны 6 и 8 см, угол 60°:
$$d_1 = \sqrt{36 + 64 - 96 \cdot 0{,}5} = \sqrt{52} \approx 7{,}21 \text{ см}$$$$d_2 = \sqrt{36 + 64 + 48} = \sqrt{148} \approx 12{,}17 \text{ см}$$Проверка: $52 + 148 = 200 = 2(36 + 64)$ ✓
Диагонали ромба
Ромб – параллелограмм с равными сторонами $a$. Его диагонали перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения. Из этого следует:
$$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$$Через острый угол $\alpha$:
$$d_1 = 2a\sin\frac{\alpha}{2}, \qquad d_2 = 2a\cos\frac{\alpha}{2}$$Через площадь $S$:
$$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \implies d_1 = \frac{2S}{d_2}$$Пример. Сторона 5 см, острый угол 60°:
$$d_1 = 2 \cdot 5 \cdot \sin 30° = 5 \text{ см}$$$$d_2 = 2 \cdot 5 \cdot \cos 30° = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \text{ см}$$Диагональ прямого параллелепипеда
Прямой параллелепипед (прямоугольная коробка) с рёбрами $a$, $b$, $c$ имеет четыре диагонали одинаковой длины. Формула – трёхмерное обобщение теоремы Пифагора:
$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$Пример. Коробка 3 × 4 × 12 см:
$$d = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$Для куба со стороной $a$ формула сводится к $d = a\sqrt{3}$.
Сколько диагоналей у многоугольника?
Число диагоналей $n$-угольника:
$$N = \frac{n(n-3)}{2}$$| Фигура | $n$ | Диагоналей |
|---|---|---|
| Треугольник | 3 | 0 |
| Квадрат | 4 | 2 |
| Пятиугольник | 5 | 5 |
| Шестиугольник | 6 | 9 |
| Восьмиугольник | 8 | 20 |
| Десятиугольник | 10 | 35 |
У треугольника диагоналей нет: каждая пара вершин уже соединена стороной.
Сводная таблица формул диагоналей
| Фигура | Дано | Формула |
|---|---|---|
| Прямоугольник | Стороны $a$, $b$ | $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ |
| Квадрат | Сторона $a$ | $d = a\sqrt{2}$ |
| Параллелограмм | Стороны $a$, $b$; угол $\alpha$ | $d = \sqrt{a^2 + b^2 \mp 2ab\cos\alpha}$ |
| Ромб | Сторона $a$; угол $\alpha$ | $d_1 = 2a\sin(\alpha/2)$, $d_2 = 2a\cos(\alpha/2)$ |
| Ромб | Площадь $S$; диагональ $d_2$ | $d_1 = 2S / d_2$ |
| Параллелепипед | Рёбра $a$, $b$, $c$ | $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ |
| Куб | Ребро $a$ | $d = a\sqrt{3}$ |
Статья носит образовательный характер; для точных технических расчётов уточняйте исходные данные задачи.