Как найти большую диагональ

Задача «найти большую диагональ» чаще всего встречается при работе с ромбом – реже с параллелограммом или трапецией. Подход зависит от фигуры и от того, что задано: сторона, угол, площадь или меньшая диагональ.

Какая диагональ называется большей

В четырёхугольнике с двумя диагоналями разной длины выделяют большую (d₂) и меньшую (d₁). Простое правило для ромба и параллелограмма:

  • Большая диагональ соединяет вершины острых углов.
  • Меньшая диагональ соединяет вершины тупых углов.
  • При углах 90° (квадрат, прямоугольник) обе диагонали равны.
Выберите фигуру
Дано для ромба

Заполните поля выше, чтобы увидеть результат.

Справка по формулам

Ромб:

  • Через сторону и угол: d₂ = 2a · cos(α/2)
  • Через сторону и малую диагональ: d₂ = √(4a² − d₁²)
  • Через площадь: d₂ = 2S / d₁

Параллелограмм:

  • Теорема косинусов: d₂ = √(a² + b² + 2ab · cos α)
  • Через малую диагональ: d₂ = √(2(a² + b²) − d₁²)

Трапеция (прямоугольная):

  • Теорема Пифагора: d = √(a² + h²)

Калькулятор вычисляет большую диагональ ромба или параллелограмма по заданным параметрам – стороне, углу, площади или известной меньшей диагонали.

Большая диагональ ромба – три способа

Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. В точке пересечения образуются четыре прямоугольных треугольника с катетами d₁/2 и d₂/2 и гипотенузой a (сторона ромба). Именно это и даёт три независимых маршрута к ответу.

Способ 1. Через сторону и угол

Если известен острый угол α и сторона a:

d₂ = 2a · cos(α / 2)

Пример. Сторона ромба 8 см, острый угол 60°.
d₂ = 2 · 8 · cos 30° = 16 · 0,866 ≈ 13,86 см.

Для проверки – меньшая диагональ того же ромба: d₁ = 2 · 8 · sin 30° = 8 см.

Способ 2. Через сторону и меньшую диагональ

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой a:

d₂ = √(4a² − d₁²)

Пример. a = 10 см, d₁ = 12 см.
d₂ = √(4 · 100 − 144) = √256 = 16 см.

Проверка: (d₁/2)² + (d₂/2)² = 36 + 64 = 100 = a² ✓

Способ 3. Через площадь и меньшую диагональ

Площадь ромба S = (d₁ · d₂) / 2, отсюда:

d₂ = 2S / d₁

Пример. S = 48 см², d₁ = 6 см.
d₂ = 96 / 6 = 16 см.

Как найти большую диагональ параллелограмма?

В параллелограмме со сторонами a и b большая диагональ лежит напротив тупого угла треугольника, образованного двумя сторонами. По теореме косинусов:

d₂ = √(a² + b² + 2ab · cos α)

где α – острый угол параллелограмма.

Пример. a = 5 см, b = 8 см, α = 60°.
d₂ = √(25 + 64 + 2 · 5 · 8 · 0,5) = √129 ≈ 11,36 см.

Если одна диагональ уже известна, применяют тождество суммы квадратов:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Откуда: d₂ = √(2(a² + b²) − d₁²). Угол при этом знать не нужно.

Большая диагональ трапеции

У трапеции нет единой короткой формулы – решение зависит от типа фигуры.

Прямоугольная трапеция с большим основанием a и высотой h. Большая диагональ (от нижнего угла без прямого угла до противоположного верхнего угла):

d₂ = √(a² + h²)

Равнобедренная трапеция – обе диагонали одинаковы, понятие «большей» не применяется.

Произвольная трапеция – задачу решают через теорему косинусов в треугольниках, на которые трапеция делится диагональю, предварительно найдя углы при основании.

Сводная таблица формул

ФигураИсходные данныеФормула
РомбСторона a, острый угол αd₂ = 2a · cos(α / 2)
РомбСторона a, малая диагональ d₁d₂ = √(4a² − d₁²)
РомбПлощадь S, малая диагональ d₁d₂ = 2S / d₁
ПараллелограммСтороны a, b, острый угол αd₂ = √(a² + b² + 2ab · cos α)
ПараллелограммСтороны a, b, малая диагональ d₁d₂ = √(2(a² + b²) − d₁²)
Прямоугольная трапецияБольшее основание a, высота hd₂ = √(a² + h²)

Статья предназначена для общеобразовательных целей; перед решением контрольной задачи убедитесь, что исходные данные соответствуют выбранной формуле.

Часто задаваемые вопросы

Как определить, какая из двух диагоналей является большей?
В ромбе и параллелограмме большая диагональ соединяет вершины острых углов, меньшая – вершины тупых углов. Если оба угла равны 90° (квадрат, прямоугольник), обе диагонали одинаковы и понятие «большей» не применяется.
Чему равна большая диагональ ромба со стороной 5 см и острым углом 60°?
По формуле d₂ = 2a · cos(α/2): d₂ = 2 · 5 · cos 30° = 10 · 0,866 ≈ 8,66 см. Меньшая диагональ того же ромба: d₁ = 2 · 5 · sin 30° = 5 см.
Можно ли найти большую диагональ ромба, зная только площадь и меньшую диагональ?
Да. Площадь ромба S = (d₁ · d₂) / 2, поэтому d₂ = 2S / d₁. При S = 30 см² и d₁ = 5 см: d₂ = 60 / 5 = 12 см. Способ работает только для ромба и квадрата.
Почему диагонали ромба всегда перпендикулярны?
Ромб – параллелограмм с равными сторонами, и каждая его диагональ является осью симметрии и биссектрисой углов. Две оси симметрии пересекаются строго под 90°, поэтому перпендикулярность – обязательное свойство, а не случайность.
Как найти большую диагональ параллелограмма, если известна меньшая диагональ?
По формуле суммы квадратов диагоналей: d₁² + d₂² = 2(a² + b²), отсюда d₂ = √(2(a² + b²) − d₁²). Нужно знать обе стороны параллелограмма – одних диагоналей недостаточно.
Как связаны диагонали ромба с его стороной?
Диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются пополам. Из теоремы Пифагора: (d₁/2)² + (d₂/2)² = a². Отсюда d₂ = √(4a² − d₁²) – это один из трёх основных способов найти большую диагональ.
Что если в условии задачи дан тупой угол, а не острый?
Переведите тупой угол β в острый: α = 180° − β. Затем используйте формулу d₂ = 2a · cos(α/2) для ромба или d₂ = √(a² + b² + 2ab · cos α) для параллелограмма. Результат будет верным.
  1. Как найти боковую сторону: формулы и расчёты
  2. Как найти диагональ: формулы для всех фигур
  3. Как найти боковую сторону трапеции – формулы и примеры
  4. Как найти большее основание трапеции: формулы и примеры
  5. Как найти площадь параллелограмма: все формулы и примеры
  6. Как найти меньшее основание трапеции: формулы и примеры