МатематикаГеометрия

Формулы радиуса окружности треугольника

Все формулы радиуса описанной (R) и вписанной (r) окружности треугольника: через стороны, площадь, углы. Для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего.

Все стороны должны быть положительными и удовлетворять неравенству треугольника.
Показать все формулы

Используемые формулы

Полупериметр
p = (a + b + c) / 2
Площадь (формула Герона)
S = √(p·(p−a)·(p−b)·(p−c))
Радиус описанной окружности
R = a·b·c / (4·S)
Радиус вписанной окружности
r = S / p
Неравенство Эйлера
R ≥ 2r

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Геометрия» (249) →

Описанная и вписанная окружность

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и в любой треугольник можно вписать окружность. При этом:

  • Описанная окружность (радиус RR) проходит через все три вершины. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
  • Вписанная окружность (радиус rr) касается всех трёх сторон изнутри. Её центр — точка пересечения биссектрис углов.

Радиус описанной окружности (RR)

Универсальные формулы

Для произвольного треугольника со сторонами aa, bb, cc и углами AA, BB, CC:

Через стороны и площадь:

R=abc4SR = \frac{abc}{4S}

где SS — площадь треугольника.

Через теорему синусов:

R=a2sin⁡A=b2sin⁡B=c2sin⁡CR = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}

Через стороны без площади (формула Гино):

R=abc(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}

Частные случаи

Прямоугольный треугольник (гипотенуза cc):

R=c2R = \frac{c}{2}

Равнобедренный треугольник (боковые стороны aa, основание bb):

R=a24a2−b2=a2sin⁡αR = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}} = \frac{a}{2\sin \alpha}

где α\alpha — угол при основании.

Равносторонний треугольник (сторона aa):

R=a3=a33R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}

Радиус вписанной окружности (rr)

Основная формула

r=Spr = \frac{S}{p}

где p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2} — полупериметр.

Через углы и стороны

r=(p−a)tan⁡A2=(p−b)tan⁡B2=(p−c)tan⁡C2r = (p-a) \tan \frac{A}{2} = (p-b) \tan \frac{B}{2} = (p-c) \tan \frac{C}{2}

Частные случаи

Прямоугольный треугольник (катеты aa, bb, гипотенуза cc):

r=a+b−c2=Sp=p−cr = \frac{a+b-c}{2} = \frac{S}{p} = p - c

Равнобедренный треугольник (боковые aa, основание bb, высота hh):

r=b22a−b2a+b=Sa+b2r = \frac{b}{2} \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}} = \frac{S}{a + \frac{b}{2}}

Равносторонний треугольник (сторона aa):

r=a23=a36r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}

Связь между RR и rr

Для любого треугольника выполняется неравенство Эйлера:

R≥2rR \geq 2r

Расстояние dd между центрами вписанной и описанной окружностей определяется формулой:

d2=R(R−2r)d^2 = R(R - 2r)

Примеры решений

Пример 1. Найдите радиус описанной окружности треугольника со сторонами 55, 77 и 88 см.

Решение:
Найдём полупериметр: p=5+7+82=10p = \frac{5+7+8}{2} = 10 см.
Площадь по формуле Герона: S=10⋅5⋅3⋅2=300=103S = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} см².
Радиус: R=5⋅7⋅84⋅103=280403=73=733≈4,04R = \frac{5 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 10\sqrt{3}} = \frac{280}{40\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04 см.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике катеты 66 см и 88 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.

Решение:
Гипотенуза c=62+82=10c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 см.
R=c2=5R = \frac{c}{2} = 5 см.
r=a+b−c2=6+8−102=2r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = 2 см.

Пример 3. Дана сторона равностороннего треугольника a=6a = 6 см. Найдите RR и rr.

Решение:
R=63=23≈3,46R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 см.
r=623=3≈1,73r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73 см.
Проверка: R=2rR = 2r — выполняется.

Часто задаваемые вопросы

Как найти радиус описанной окружности через стороны треугольника?
Используйте формулу R = abc/(4S), где a, b, c — стороны, а S — площадь треугольника. Площадь можно найти по формуле Герона S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p — полупериметр.
Чему равен радиус вписанной окружности треугольника?
Радиус вычисляется по формуле r = S/p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр (p = (a+b+c)/2).
Где находится центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике?
Центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы. Радиус равен половине гипотенузы: R = c/2, где c — гипотенуза.
Как связаны радиусы вписанной и описанной окружностей?
Для любого треугольника выполняется неравенство Эйлера: R ≥ 2r. Равенство достигается только для равностороннего треугольника, где R = a/√3 и r = a/(2√3).
Как найти радиус описанной окружности, зная одну сторону и противолежащий угол?
По теореме синусов: R = a/(2 sin A) = b/(2 sin B) = c/(2 sin C). Достаточно знать любую пару «сторона — противолежащий угол».