Длина вектора: формулы и решение задач
Научитесь вычислять длину вектора по координатам, точкам и теореме косинусов. Пошаговые решения, примеры и разбор типичных ошибок для ОГЭ, ЕГЭ и физики.
Научитесь вычислять длину вектора по координатам, точкам и теореме косинусов. Пошаговые решения, примеры и разбор типичных ошибок для ОГЭ, ЕГЭ и физики.
Основная формула и принцип расчёта
Длина (модуль) вектора — это расстояние от его начала до конца. Вектор обозначается как $\vec{a}$, а его длина — $|\vec{a}|$ или $a$. Поскольку это физическая и геометрическая величина расстояния, она всегда неотрицательна.
Формула является прямым следствием теоремы Пифагора. Если вектор начинается в начале координат $(0,0)$ и заканчивается в точке $(x, y)$, он образует прямоугольный треугольник с катетами $x$ и $y$. Квадрат гипотенузы (длины вектора) равен сумме квадратов катетов:
$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
В трёхмерном пространстве добавляется координата $z$. Формула расширяется естественным образом за счёт ещё одного измерения:
$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$
Эти выражения работают для любых декартовых систем координат. Главное правило: координаты могут быть отрицательными, но перед возведением в квадрат они теряют знак, поэтому результат всегда корректен.
Пошаговый алгоритм решения
Чтобы избежать хаотичных вычислений, используйте чёткий порядок действий:
- Определите исходные данные. Запишите координаты вектора $\vec{a}(x; y; z)$ или координаты точек начала и конца $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$.
- Подставьте значения в формулу. Для двумерного случая возьмите $\sqrt{x^2 + y^2}$, для трёхмерного — добавьте $z^2$.
- Вычислите квадраты. Умножьте каждую координату на саму себя.
- Найдите сумму. Сложите полученные квадраты.
- Извлеките квадратный корень. Запишите окончательный ответ. При необходимости оставите корень в упрощённом виде, если под ним нет полного квадрата.
Этот алгоритм универсален и покрывает 90% задач школьной и вузовской программы по математике и физике.
Расчёт по координатам точек начала и конца
На практике векторы редко задаются координатами напрямую. Чаще даны две точки $A$ и $B$. В этом случае координаты самого вектора вычисляются как разность координат конца и начала:
$$\vec{AB} = (x_2 - x_1; ; y_2 - y_1; ; z_2 - z_1)$$
Длина вектора $\vec{AB}$ находится по формуле расстояния между двумя точками:
$$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
Важно: порядок вычитания влияет только на знак разности, но поскольку разность возводится в квадрат, формула симметрична. $A - B$ и $B - A$ дадут одинаковый результат. Главное — не перепутать минус и плюс при раскрытии скобок.
Вычисление через теорему косинусов
Иногда координаты неизвестны. Задача может быть сформулирована так: «Известны длины двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ и угол $\alpha$ между ними. Найдите длину вектора $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$ (или сумму, или третья сторона треугольника)».
В этом случае векторы образуют треугольник. Чтобы найти неизвестную сторону, применяется теорема косинусов:
$$|\vec{w}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2 \cdot |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\alpha$$
Отсюда:
$$|\vec{w}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2 \cdot |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\alpha}$$
Этот метод критически важен для задач по физике (равнодействующая сил, сложение скоростей) и стереометрии. При использовании обязательно уточняйте, угол дан между самими векторами или внутри треугольника. Для разности векторов угол берётся без изменений, для суммы — угол между ними в треугольнике будет $\pi - \alpha$, что меняет знак перед косинусом.
Типичные ошибки при решении
| Ошибка | Почему возникает | Как исправить |
|---|---|---|
| Забыли извлечь квадратный корень | Спутали формулу для квадрата длины с самой длиной | Всегда проверяйте последний шаг: если в ответе стоит сумма квадратов, вы на полпути |
| Путают координаты точек и вектора | Дают точки начала и конца вместо разности | Сначала найдите $\Delta x, \Delta y$, затем возводите в квадрат |
| Ошибаются в знаке косинуса | Не учитывают разницу между суммой и разностью векторов | Для суммы: $+2ab\cos\alpha$, для разности: $-2ab\cos\alpha$ |
| Игнорируют единицы измерения | Складывают числа без учёта см, м, км | Векторная длина наследует размерность координат. Указывайте единицы в ответе |
Практические примеры
Пример 1. Расчёт по координатам точек (2D) Найти длину вектора $\vec{AB}$, если $A(1; 4)$ и $B(-2; 0)$.
- Разность координат: $\Delta x = -2 - 1 = -3$, $\Delta y = 0 - 4 = -4$.
- Подставляем: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Ответ: 5 единиц.
Пример 2. Расчёт в пространстве (3D) Вектор $\vec{a}$ задан началом в $(2; -1; 3)$ и концом в $(5; 3; -1)$.
- Разности: $5-2=3$, $3-(-1)=4$, $-1-3=-4$.
- Формула: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$. Ответ: $\sqrt{41} \approx 6{,}40$.
Пример 3. Теорема косинусов Длины векторов $|\vec{u}| = 6$, $|\vec{v}| = 8$, угол между ними $60^\circ$. Найти длину $\vec{u} + \vec{v}$.
- Формула суммы: $|\vec{u}+\vec{v}|^2 = 6^2 + 8^2 + 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$.
- $\cos(60^\circ) = 0{,}5$. Подставляем: $36 + 64 + 48 = 148$.
- $|\vec{u}+\vec{v}| = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \approx 12{,}17$. Ответ: $2\sqrt{37}$.