Длина вектора: формулы и решение задач

Научитесь вычислять длину вектора по координатам, точкам и теореме косинусов. Пошаговые решения, примеры и разбор типичных ошибок для ОГЭ, ЕГЭ и физики.

Основная формула и принцип расчёта

Длина (модуль) вектора — это расстояние от его начала до конца. Вектор обозначается как $\vec{a}$, а его длина — $|\vec{a}|$ или $a$. Поскольку это физическая и геометрическая величина расстояния, она всегда неотрицательна.

Формула является прямым следствием теоремы Пифагора. Если вектор начинается в начале координат $(0,0)$ и заканчивается в точке $(x, y)$, он образует прямоугольный треугольник с катетами $x$ и $y$. Квадрат гипотенузы (длины вектора) равен сумме квадратов катетов:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

В трёхмерном пространстве добавляется координата $z$. Формула расширяется естественным образом за счёт ещё одного измерения:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Эти выражения работают для любых декартовых систем координат. Главное правило: координаты могут быть отрицательными, но перед возведением в квадрат они теряют знак, поэтому результат всегда корректен.

Пошаговый алгоритм решения

Чтобы избежать хаотичных вычислений, используйте чёткий порядок действий:

1. Определите исходные данные. Запишите координаты вектора $\vec{a}(x; y; z)$ или координаты точек начала и конца $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$.
2. Подставьте значения в формулу. Для двумерного случая возьмите $\sqrt{x^2 + y^2}$, для трёхмерного — добавьте $z^2$.
3. Вычислите квадраты. Умножьте каждую координату на саму себя.
4. Найдите сумму. Сложите полученные квадраты.
5. Извлеките квадратный корень. Запишите окончательный ответ. При необходимости оставите корень в упрощённом виде, если под ним нет полного квадрата.

Этот алгоритм универсален и покрывает 90% задач школьной и вузовской программы по математике и физике.

Расчёт по координатам точек начала и конца

На практике векторы редко задаются координатами напрямую. Чаще даны две точки $A$ и $B$. В этом случае координаты самого вектора вычисляются как разность координат конца и начала:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1; \; y_2 - y_1; \; z_2 - z_1)$

Длина вектора $\vec{AB}$ находится по формуле расстояния между двумя точками:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Важно: порядок вычитания влияет только на знак разности, но поскольку разность возводится в квадрат, формула симметрична. $A - B$ и $B - A$ дадут одинаковый результат. Главное — не перепутать минус и плюс при раскрытии скобок.

Вычисление через теорему косинусов

Иногда координаты неизвестны. Задача может быть сформулирована так: «Известны длины двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ и угол $\alpha$ между ними. Найдите длину вектора $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$ (или сумму, или третья сторона треугольника)».

В этом случае векторы образуют треугольник. Чтобы найти неизвестную сторону, применяется теорема косинусов:

$|\vec{w}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2 \cdot |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\alpha$

Отсюда:

$|\vec{w}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2 \cdot |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\alpha}$

Этот метод критически важен для задач по физике (равнодействующая сил, сложение скоростей) и стереометрии. При использовании обязательно уточняйте, угол дан между самими векторами или внутри треугольника. Для разности векторов угол берётся без изменений, для суммы — угол между ними в треугольнике будет $\pi - \alpha$, что меняет знак перед косинусом.

Типичные ошибки при решении

Практические примеры

Пример 1. Расчёт по координатам точек (2D) Найти длину вектора $\vec{AB}$, если $A(1; 4)$ и $B(-2; 0)$.

1. Разность координат: $\Delta x = -2 - 1 = -3$, $\Delta y = 0 - 4 = -4$.
2. Подставляем: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Ответ: 5 единиц.

Пример 2. Расчёт в пространстве (3D) Вектор $\vec{a}$ задан началом в $(2; -1; 3)$ и концом в $(5; 3; -1)$.

1. Разности: $5-2=3$, $3-(-1)=4$, $-1-3=-4$.
2. Формула: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$. Ответ: $\sqrt{41} \approx 6{,}40$.

Пример 3. Теорема косинусов Длины векторов $|\vec{u}| = 6$, $|\vec{v}| = 8$, угол между ними $60^\circ$. Найти длину $\vec{u} + \vec{v}$.

1. Формула суммы: $|\vec{u}+\vec{v}|^2 = 6^2 + 8^2 + 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$.
2. $\cos(60^\circ) = 0{,}5$. Подставляем: $36 + 64 + 48 = 148$.
3. $|\vec{u}+\vec{v}| = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \approx 12{,}17$. Ответ: $2\sqrt{37}$.