Вычислить площадь фигуры: формулы и примеры

Площадь – это мера поверхности, которую занимает фигура на плоскости. Она измеряется в квадратных единицах: квадратных метрах (м²), квадратных сантиметрах (см²), арах (а) и гектарах (га). Ниже – все основные формулы с пошаговыми примерами, чтобы вы могли быстро вычислить площадь любой фигуры.

Что такое площадь и как её обозначают

Площадь показывает, сколько квадратиков со стороной 1 единица помещается внутри фигуры. В математике площадь обозначают буквой S (от лат. squares – «квадрат»). Если нужно уточнить, площадь какой именно фигуры, добавляют индекс: S₁, S₂ или Sквадрата, Sпрямоугольника.

Единицы площади и их соотношения:

Площадь квадрата

Квадрат – это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны.

Формула:

$$S = a^2$$

где a – длина стороны квадрата.

Пример. Сторона квадрата – 6 см.

S = 6² = 6 × 6 = 36 см²

Площадь прямоугольника

Прямоугольник имеет две пары равных противоположных сторон.

Формула:

$$S = a \times b$$

где a – длина, b – ширина.

Пример. Комната 5 м × 3 м.

S = 5 × 3 = 15 м²

Площадь треугольника

Формула зависит от того, какие данные известны.

По основанию и высоте

$$S = \frac{1}{2} \times a \times h$$

где a – основание, h – высота, проведённая к этому основанию.

Пример. Основание треугольника 10 см, высота 4 см.

S = ½ × 10 × 4 = 20 см²

По формуле Герона (по трём сторонам)

Когда известны длины всех трёх сторон a, b, c, сначала находят полупериметр:

$$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Затем:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Пример. Стороны: 3 см, 4 см, 5 см (прямоугольный треугольник).

p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6

S = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6 см²

Для равностороннего треугольника

$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$$

Пример. Сторона равностороннего треугольника – 8 см.

S = (√3 / 4) × 64 = 1,732 × 16 ≈ 27,71 см²

Площадь круга

Круг – это область внутри окружности. Формула площади круга использует число π ≈ 3,14159.

Через радиус

$$S = \pi \times r^2$$

где r – радиус круга.

Пример. Радиус круга – 7 см.

S = 3,14159 × 49 ≈ 153,94 см²

Через диаметр

Если известен диаметр d:

$$S = \frac{\pi \times d^2}{4}$$

Пример. Диаметр – 14 см (радиус 7 см – тот же круг).

S = (3,14159 × 196) / 4 = 615,75 / 4 ≈ 153,94 см²

Площадь параллелограмма

Параллелограмм – четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон. По сути, это «наклонённый» прямоугольник.

Формула:

$$S = a \times h$$

где a – основание, h – высота, опущенная на это основание.

Важно: высота – это перпендикуляр к основанию, а не длина боковой стороны.

Пример. Основание 12 см, высота 5 см.

S = 12 × 5 = 60 см²

Площадь трапеции

Трапеция – четырёхугольник с двумя параллельными сторонами (основаниями).

Формула:

$$S = \frac{(a + b)}{2} \times h$$

где a и b – длины оснований, h – высота.

Пример. Основания: 8 см и 5 см, высота – 4 см.

S = ((8 + 5) / 2) × 4 = 6,5 × 4 = 26 см²

Площадь ромба

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Формула по стороне и высоте:

$$S = a \times h$$

Формула по диагоналям:

$$S = \frac{d_1 \times d_2}{2}$$

где d₁ и d₂ – длины диагоналей.

Пример. Диагонали ромба: 10 см и 6 см.

S = (10 × 6) / 2 = 30 см²

Площадь правильного многоугольника

Правильный многоугольник – фигура с n равными сторонами и равными углами.

Формула:

$$S = \frac{n \times a \times r}{2}$$

где n – количество сторон, a – длина стороны, r – апофема (расстояние от центра до середины стороны).

Для правильного шестиугольника (гексагона) со стороной a:

$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2$$

Пример. Правильный шестиугольник со стороной 4 см.

S = (3 × 1,732 / 2) × 16 = 2,598 × 16 ≈ 41,57 см²

Площадь эллипса

Эллипс – «вытянутый круг». Его задают двумя полуосями a и b.

Формула:

$$S = \pi \times a \times b$$

Пример. Полуоси эллипса: 5 см и 3 см.

S = 3,14159 × 5 × 3 ≈ 47,12 см²

Площадь сектора круга

Сектор – «кусок пирога», ограниченный двумя радиусами и дугой.

Формула:

$$S = \frac{\pi \times r^2 \times \alpha}{360°}$$

где α – центральный угол сектора в градусах, r – радиус.

Пример. Радиус 10 см, угол 90° (четверть круга).

S = (3,14159 × 100 × 90) / 360 = 2827,4 / 360 ≈ 78,54 см²

Площадь сложных фигур

На практике фигуры редко бывают идеально простыми. Вот два подхода:

Разбиение на простые части

Разделите фигуру на знакомые элементы (прямоугольники, треугольники, полукруги), вычислите площадь каждой и сложите результаты.

Пример. Фигура: прямоугольник 8 × 5 м с полукругом радиусом 2,5 м сверху.

• S_прямоугольника = 8 × 5 = 40 м²
• S_полукруга = (π × 2,5²) / 2 = (3,14 × 6,25) / 2 ≈ 9,81 м²
• S_общая = 40 + 9,81 = 49,81 м²

Метод вычитания

Вычислите площадь большой фигуры и вычтите площадь «дырки».

Пример. Прямоугольник 10 × 6 м, внутри вырезан квадрат 2 × 2 м.

• S_прямоугольника = 60 м²
• S_квадрата = 4 м²
• S_фигуры = 60 − 4 = 56 м²

Быстрая сводка формул

Практические задачи с решениями

Задача 1. Сколько обоев нужно для стены длиной 4,5 м и высотой 2,8 м?

S = 4,5 × 2,8 = 12,6 м²

Задача 2. Круглая столешница имеет диаметр 80 см. Какова её площадь?

r = 80 / 2 = 40 см; S = 3,14 × 40² = 3,14 × 1600 = 5024 см² = 0,5024 м²

Задача 3. Земельный участок в форме треугольника со сторонами 30 м, 40 м, 50 м. Найдите площадь.

Это прямоугольный треугольник (30² + 40² = 2500 = 50²). S = ½ × 30 × 40 = 600 м² = 0,06 га

Задача 4. Трапециевидная крыша: верхнее основание 6 м, нижнее – 10 м, высота – 3,5 м.

S = ((6 + 10) / 2) × 3,5 = 8 × 3,5 = 28 м²

Типичные ошибки при вычислении площади

1. Смешение единиц. Если одна сторона в сантиметрах, а другая – в метрах, приведите их к одной единице до расчёта.
2. Высота ≠ боковая сторона. В треугольнике и параллелограмме высота – это всегда перпендикуляр. Нельзя подставлять длину наклонной стороны.
3. Забыть делить на 2. В формулах треугольника и трапеции присутствует деление на 2. Это самая частая ошибка на контрольных.
4. Диаметр вместо радиуса. В формуле круга S = πr² нужен именно радиус, а не диаметр. Если дан диаметр – сначала разделите его на 2.

Если нужен быстрый расчёт без ручных вычислений, воспользуйтесь калькулятором выше – достаточно ввести исходные данные, и результат появится мгновенно.