Площадь фигуры, ограниченной линиями: формулы
Как найти площадь криволинейной трапеции и фигуры между графиками. Формулы через определённый интеграл, пошаговый алгоритм и примеры с решением.
Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, – стандартная задача математического анализа и школьной программы. Она решается через определённый интеграл: нужно правильно выбрать пределы, определить подынтегральную функцию и учесть взаимное расположение графиков относительно осей координат.
Основная идея
Если фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком непрерывной функции y = f(x), снизу осью Ox, слева прямой x = a и справа x = b, её площадь численно равна определённому интегралу:
S = ∫ₐᵇ f(x) dx
Это следует из теоремы о связи интеграла с первообразной: искомая площадь равна приращению первообразной F(x) на отрезке [a; b], то есть F(b) − F(a).
Три типовых случая
1. Фигура расположена над осью Ox
При условии f(x) ≥ 0 на всём отрезке [a; b] площадь совпадает со значением интеграла:
S = ∫ₐᵇ f(x) dx
2. Фигура расположена под осью Ox
Если f(x) ≤ 0 на [a; b], определённый интеграл даёт отрицательное число. Геометрическую площадь получают через модуль:
S = |∫ₐᵇ f(x) dx|
На практике удобнее сразу интегрировать разность (0 − f(x)), то есть −f(x).
3. Фигура между двумя кривыми
Пусть на отрезке [a; b] выполняется f(x) ≥ g(x). Тогда верхняя граница – f(x), нижняя – g(x). Площадь равна интегралу от разности:
S = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx
Важно: здесь не имеет значения, лежат ли обе кривые выше или ниже оси Ox; значение имеет только их взаимное расположение.
Пошаговый алгоритм
- Составьте чертёж. Отметьте все ограничивающие линии и заштрихуйте искомую площадь.
- Найдите пределы интегрирования. Для этого решите уравнения пересечения кривых между собой и с осями координат.
- Запишите подынтегральную функцию. Для фигуры между графиками всегда вычитайте нижнюю функцию из верхней.
- Вычислите интеграл. Найдите первообразную и примените формулу Ньютона – Лейбница: подставьте верхний и нижний пределы.
- Проверьте знак. Площадь должна быть положительной. Отрицательный результат сигнализирует о том, что фигура расположена под осью Ox или функции вычтены в неверном порядке.
Примеры решения
Пример 1. Криволинейная трапеция над осью
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², x = 1, x = 2 и осью Ox.
Функция y = x² неотрицательна на отрезке [1; 2], поэтому сразу применяем основную формулу:
S = ∫₁² x² dx = [x³/3]₁² = 8/3 − 1/3 = 7/3 ≈ 2,33
Ответ: 7/3 кв. ед.
Пример 2. Площадь между параболой и прямой
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x и y = x².
Сначала найдём точки пересечения:
x = x² → x(1 − x) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 1
На интервале (0; 1) прямая y = x расположена выше параболы y = x², поэтому:
S = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6
Ответ: 1/6 кв. ед.
Пример 3. Фигура под осью Ox
Вычислить площадь фигуры, ограниченной y = cos(x), а также прямыми x = π/2 и x = 3π/2.
На отрезке [π/2; 3π/2] косинус неположителен. Вычислим интеграл и возьмём модуль:
∫ cos(x) dx = sin(x)
S = |sin(3π/2) − sin(π/2)| = |(−1) − 1| = 2
Ответ: 2 кв. ед.
Пример 4. График пересекает ось абсцисс
Найти площадь фигуры, ограниченной линией y = x − 1 и прямыми x = 0, x = 2.
Прямая y = x − 1 пересекает ось Ox в точке x = 1, поэтому разбиваем отрезок [0; 2] на две части.
На [0; 1] функция отрицательна:
S₁ = |∫₀¹ (x − 1) dx| = |[x²/2 − x]₀¹| = |−1/2| = 1/2
На [1; 2] функция положительна:
S₂ = ∫₁² (x − 1) dx = [x²/2 − x]₁² = (2 − 2) − (1/2 − 1) = 1/2
Общая площадь:
S = S₁ + S₂ = 1/2 + 1/2 = 1
Ответ: 1 кв. ед.
Типичные ошибки
- Путаница интеграла и площади. Определённый интеграл учитывает ориентацию площади (знак), а геометрическая площадь всегда неотрицательна.
- Пропуск точек пересечения. Если ограничивающие кривые пересекаются внутри отрезка, нужно разбивать интеграл на сумму; иначе часть площади может «взаимно уничтожиться».
- Неверный порядок вычитания. В формуле для площади между кривыми из верхней функции всегда вычитается нижняя. Перестановка даст правильное число по модулю, но со знаком минус.
Итог
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, сведите задачу к определённому интегралу: корректно определите верхнюю и нижнюю границы, найдите точки пересечения для пределов интегрирования и не забудьте взять модуль, если фигура оказалась под осью Ox. Представленный алгоритм универсален для любых непрерывных функций.