Сторона квадрата: найдите радиус окружности
Узнайте, как найти радиус вписанной и описанной окружности квадрата по стороне. Формулы, примеры и таблица для быстрого расчета. Подготовка к ОГЭ.
Самый распространённый геометрический вопрос из ОГЭ и ЕГЭ: «Сторона квадрата равна … Найдите радиус окружности». Чтобы ответить на него, нужно уточнить, о какой окружности идёт речь — вписанной в квадрат или описанной около него. В обоих случаях радиус выражается через сторону квадрата простыми формулами, которые легко запомнить.
Радиус вписанной окружности
Вписанная окружность касается всех четырёх сторон квадрата. Её центр находится в точке пересечения диагоналей квадрата. Расстояние от центра до любой стороны равно половине стороны квадрата.
Формула:
[ r = \frac{a}{2} ]
где (a) — сторона квадрата, (r) — радиус вписанной окружности.
Пример. Если сторона квадрата равна 12, то радиус вписанной окружности: (r = 12 / 2 = 6).
Радиус описанной окружности
Описанная окружность проходит через все четыре вершины квадрата. Её центр совпадает с центром квадрата, а радиус равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной (a) равна (a\sqrt{2}).
Формула:
[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} ]
где (a) — сторона квадрата, (R) — радиус описанной окружности.
Пример. Сторона квадрата равна 8√2. Найдём радиус описанной окружности: (R = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot 2}{2} = 8). Обратите внимание: в таких задачах часто встречается иррациональная сторона, но формула работает всегда.
Сводная таблица: сторона → радиусы
| Сторона квадрата (a) | Радиус вписанной окружности (r = a/2) | Радиус описанной окружности (R = a\sqrt{2}/2) |
|---|---|---|
| 6 | 3 | (3\sqrt{2} \approx 4,24) |
| 10 | 5 | (5\sqrt{2} \approx 7,07) |
| 26 | 13 | (13\sqrt{2} \approx 18,38) |
| 34 | 17 | (17\sqrt{2} \approx 24,04) |
| 8√2 | 4√2 ≈ 5,66 | 8 |
Как не перепутать формулы
- Если окружность вписана — она маленькая, внутри, радиус = половина стороны.
- Если окружность описана — она большая, снаружи, радиус = половина диагонали.
- В задачах ОГЭ часто дают сторону квадрата и просят найти радиус вписанной окружности — ответом будет просто половина числа. Если просят радиус описанной — ответ будет с корнем из двух или его числовым значением.
Типичные ошибки
- Путаница между вписанной и описанной окружностью. Внимательно читайте условие: «вписанной» или «описанной». Если слово не указано, смотрите на контекст (обычно в задачах ОГЭ оба варианта встречаются).
- Неправильное упрощение корня. В формуле (R = a\sqrt{2}/2) можно не умножать на √2, если сразу запомнить, что (R = a / \sqrt{2}). Но при делении на иррациональное число проще использовать первую форму.
- Забывают, что диагональ квадрата равна (a\sqrt{2}). Без этого нельзя вывести радиус описанной окружности.
Зная эти простые соотношения, вы сможете решить любую задачу из серии «сторона квадрата — найдите радиус» за несколько секунд.