Самый распространённый геометрический вопрос из ОГЭ и ЕГЭ: «Сторона квадрата равна … Найдите радиус окружности». Чтобы ответить на него, нужно уточнить, о какой окружности идёт речь — вписанной в квадрат или описанной около него. В обоих случаях радиус выражается через сторону квадрата простыми формулами, которые легко запомнить.

Радиус вписанной окружности

Вписанная окружность касается всех четырёх сторон квадрата. Её центр находится в точке пересечения диагоналей квадрата. Расстояние от центра до любой стороны равно половине стороны квадрата.

Формула:

r = \frac{a}{2}

где $a$ — сторона квадрата, $r$ — радиус вписанной окружности.

Пример. Если сторона квадрата равна 12, то радиус вписанной окружности: $r = 12 / 2 = 6$ .

Радиус описанной окружности

Описанная окружность проходит через все четыре вершины квадрата. Её центр совпадает с центром квадрата, а радиус равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$ .

Формула:

R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}

где $a$ — сторона квадрата, $R$ — радиус описанной окружности.

Пример. Сторона квадрата равна 8√2. Найдём радиус описанной окружности: $R = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{8 \cdot 2}{2} = 8$ . Обратите внимание: в таких задачах часто встречается иррациональная сторона, но формула работает всегда.

Сводная таблица: сторона → радиусы

Сторона квадрата $a$	Радиус вписанной окружности $r = a/2$	Радиус описанной окружности $R = a\sqrt{2}/2$
6	3	$3\sqrt{2} \approx 4,24$
10	5	$5\sqrt{2} \approx 7,07$
26	13	$13\sqrt{2} \approx 18,38$
34	17	$17\sqrt{2} \approx 24,04$
8√2	4√2 ≈ 5,66	8

Как не перепутать формулы

Если окружность вписана — она маленькая, внутри, радиус = половина стороны.
Если окружность описана — она большая, снаружи, радиус = половина диагонали.
В задачах ОГЭ часто дают сторону квадрата и просят найти радиус вписанной окружности — ответом будет просто половина числа. Если просят радиус описанной — ответ будет с корнем из двух или его числовым значением.

Типичные ошибки

Путаница между вписанной и описанной окружностью. Внимательно читайте условие: «вписанной» или «описанной». Если слово не указано, смотрите на контекст (обычно в задачах ОГЭ оба варианта встречаются).
Неправильное упрощение корня. В формуле $R = a\sqrt{2}/2$ можно не умножать на √2, если сразу запомнить, что $R = a / \sqrt{2}$ . Но при делении на иррациональное число проще использовать первую форму.
Забывают, что диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$ . Без этого нельзя вывести радиус описанной окружности.

Зная эти простые соотношения, вы сможете решить любую задачу из серии «сторона квадрата — найдите радиус» за несколько секунд.

Часто задаваемые вопросы

Как найти радиус описанной окружности, если известна сторона квадрата?

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна стороне, умноженной на √2. Следовательно, R = a√2 / 2, где a — сторона квадрата.

Чему равен радиус вписанной окружности в квадрат со стороной 10?

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Для квадрата со стороной 10 радиус вписанной окружности составит 10 / 2 = 5.

Можно ли найти радиус окружности, вписанной в квадрат, зная его площадь?

Да. Сначала найдите сторону квадрата как корень из площади (a = √S). Затем разделите сторону пополам — это и будет радиус вписанной окружности.

В чем разница между вписанной и описанной окружностью квадрата?

Вписанная окружность касается всех сторон квадрата изнутри, её центр совпадает с центром квадрата, а радиус равен половине стороны. Описанная окружность проходит через все вершины квадрата, её радиус равен половине диагонали.

Как найти сторону квадрата, если известен радиус описанной окружности?

Из формулы R = a√2 / 2 выразите сторону: a = R√2. Умножьте радиус на √2, чтобы получить сторону квадрата.

Какая формула радиуса вписанной окружности используется в задачах ОГЭ?

В задачах ОГЭ чаще всего требуется найти радиус вписанной окружности по формуле r = a/2, где a — сторона квадрата. Если дана диагональ, сначала найдите сторону.

Похожие калькуляторы и статьи