Сколько чисел можно составить из 3 цифр

Короткий ответ

Кодовый замок чемодана, PIN банковской карты, серийный номер на бытовой технике – везде встречается код из 3 цифр. Если на каждой позиции может стоять любая из 10 цифр (0–9) и повторы разрешены, существует 1 000 комбинаций: от 000 до 999.

Это ответ на основной вопрос. Другие трактовки (без повторов, без ведущего нуля, только «настоящие» трёхзначные числа) дают меньшие числа – все они собраны в таблице ниже.

Почему именно 1 000: правило произведения

Любой код из 3 цифр – это три независимых выбора. На первом месте может стоять любая из 10 цифр (0, 1, 2 … 9). На втором – снова любая из 10, потому что повторы разрешены. На третьем – те же 10 вариантов.

По правилу произведения (его ещё называют правилом умножения в комбинаторике) общее число вариантов равно произведению количеств вариантов на каждом шаге:

N = 10 × 10 × 10 = 10³ = 1 000

Этот же приём работает для кодов любой длины. Для 4-значного PIN получится 10⁴ = 10 000 комбинаций, для 6-значного – миллион, для 8-значного – 100 000 000 (сто миллионов). С каждым новым разрядом надёжность кода растёт на порядок.

Калькулятор числа комбинаций

Калькулятор ниже считает число комбинаций для произвольной длины кода и алфавита. Можно включить запрет повторений и исключение ведущего нуля – пригодится для подсчёта паролей, серийных номеров, идентификаторов и других последовательностей фиксированной длины.

Сколько комбинаций без повторений цифр

Если в коде каждая цифра встречается ровно один раз, выбор на каждом шаге сокращается:

• на 1-м месте – 10 цифр,
• на 2-м – 9 оставшихся,
• на 3-м – 8 оставшихся.

N = 10 × 9 × 8 = 720

В комбинаторике это называют размещением без повторений из 10 элементов по 3. Для наглядности: из конкретного набора {1, 2, 3} получается 3! = 6 перестановок – 123, 132, 213, 231, 312, 321. Если в наборе 4 цифры {0, 1, 2, 3}, размещений по 3 уже 4 × 3 × 2 = 24, потому что к каждой стартовой цифре добавляется свой хвост перестановок.

Трёхзначные числа без ведущего нуля

В школьной записи трёхзначное число не может начинаться с нуля – иначе это не число, а двух- или однозначная запись с лидирующими нулями. Поэтому первая цифра берётся из {1 … 9} – 9 вариантов, остальные две позиции – по 10 вариантов:

N = 9 × 10 × 10 = 900

Диапазон 100–999 содержит ровно 900 чисел. Это легко проверить арифметически: 999 − 100 + 1 = 900. Обе границы включаются, потому что и 100, и 999 – трёхзначные числа.

Трёхзначные числа с разными цифрами

Здесь действуют оба ограничения сразу: первая цифра не равна нулю, и все три цифры различны. Счёт по позициям:

• 1-я позиция: 9 вариантов (1–9),
• 2-я позиция: 9 вариантов (любая из 10, кроме уже взятой первой),
• 3-я позиция: 8 вариантов (любая, кроме двух уже занятых).

N = 9 × 9 × 8 = 648

Примеры из этого множества: 102, 120, 210, 305, 987. Числа с одинаковыми цифрами (111, 222, 505) и числа с нулём в начале (012, 034) сюда не входят.

Другие системы счисления

Метод работает для любого алфавита. Если цифр m, а длина кода n, число комбинаций с повторением равно mⁿ. Несколько примеров:

• Двоичная система, 3 разряда: 2³ = 8 комбинаций – 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
• Шестнадцатеричная (цифры 0–9 и буквы A–F, всего 16 символов), 3 разряда: 16³ = 4 096 вариантов. Столько цветов в палитре RGB #000000 – #FFFFFF.
• Латинский алфавит в нижнем регистре (26 букв), 3-буквенный код: 26³ = 17 576 вариантов.
• Цифры и заглавные латинские буквы (36 символов), 3-значный промокод: 36³ = 46 656 комбинаций.

Частые ошибки

• «999 комбинаций» – забывают про 000. Код 000 – полноправный вариант, поэтому правильный ответ для кодов с повторением 1 000, а не 999.
• «Трёхзначных чисел 1 000» – путают код и число. Настоящие числа идут от 100 до 999, это 900 штук. 1 000 записей получится только в том случае, если считать 000 полноценной трёхразрядной записью.
• «Без повторений тоже 1 000» – забывают, что после выбора первой цифры остаётся не 10, а 9 вариантов, а после второй – 8. Реальное число размещений 10 × 9 × 8 = 720.
• «С нулём только 9 вариантов» – на самом деле 0 занимает любую из трёх позиций, и каждый раз остаётся по 9 вариантов для двух оставшихся мест: 3 × 9 × 8 = 216 кодов, где ноль участвует.