Что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённого набора символов (цифр). Если значение цифры зависит от её положения (разряда) в записи числа, такую систему называют позиционной. Основание позиционной системы равно количеству используемых цифр. Например, в десятичной системе основание 10 (цифры 0–9), в двоичной — 2 (цифры 0 и 1). Именно позиционные системы лежат в основе современных вычислений, и наш калькулятор работает с ними.

Основные системы счисления

Название	Основание	Используемые цифры	Типичное применение
Двоичная (Binary)	2	0, 1	Внутреннее представление данных в компьютерах
Восьмеричная (Octal)	8	0–7	Права доступа в UNIX, устаревшие системы
Десятичная (Decimal)	10	0–9	Повседневные расчёты, быт
Шестнадцатеричная (Hex)	16	0–9, A–F	Цвета в вебе, адреса памяти, MAC-адреса

Перевод из любой системы счисления в десятичную

Чтобы перевести число из системы с основанием $b$ в десятичную, нужно каждую цифру умножить на $b$ в степени, равной номеру разряда (нумерация справа налево, начиная с 0). Затем сложить результаты.

Формула:
$(d_n d_{n-1} \dots d_1 d_0)_{(b)} = d_n \cdot b^n + d_{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + d_1 \cdot b^1 + d_0 \cdot b^0$

Пример 1: перевод двоичного числа 1101₂ в десятичную

$1101_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}$

Пример 2: перевод шестнадцатеричного числа 2F₁₆ в десятичную

$2F_{16} = 2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 32 + 15 = 47_{10}$
(буква F соответствует числу 15)

Перевод из десятичной системы в любую другую

Последовательно делите десятичное число на основание целевой системы, записывая остатки от деления. Полученные остатки, прочитанные в обратном порядке (снизу вверх), образуют искомое число.

Пример: перевести 47₁₀ в двоичную систему

Шаг	Частное	Остаток
47 ÷ 2	23	1
23 ÷ 2	11	1
11 ÷ 2	5	1
5 ÷ 2	2	1
2 ÷ 2	1	0
1 ÷ 2	0	1

Читаем остатки снизу вверх: 101111₂.
Проверка: $1\cdot2^5 + 0\cdot2^4 + 1\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47$ .

Быстрый перевод между системами 2, 8 и 16

Так как $8=2^3$ и $16=2^4$ , перевод между этими системами можно выполнять без промежуточного преобразования в десятичную:

Двоичная → Восьмеричная: разбейте двоичное число на группы по 3 цифры (триады) справа налево, дополнив лидирующими нулями при необходимости. Каждую триаду замените восьмеричной цифрой.
Двоичная → Шестнадцатеричная: разбейте на группы по 4 цифры (тетрады) и замените каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой.
Обратные переходы: каждую цифру исходной системы замените соответствующей триадой или тетрадой.

Таблица соответствия триад и тетрад

Десятичное	Триада (3 бита)	Восьмеричное	Тетрада (4 бита)	Шестнадцатеричное
0	000	0	0000	0
1	001	1	0001	1
2	010	2	0010	2
3	011	3	0011	3
4	100	4	0100	4
5	101	5	0101	5
6	110	6	0110	6
7	111	7	0111	7
8	—	—	1000	8
9	—	—	1001	9
10	—	—	1010	A
11	—	—	1011	B
12	—	—	1100	C
13	—	—	1101	D
14	—	—	1110	E
15	—	—	1111	F

Пример: перевести 1101101₂ в шестнадцатеричную.
Разбиваем на тетрады: 110 1101 → 0110 1101 → 6D₁₆.

Арифметические операции в двоичной системе

В двоичной системе действуют те же правила сложения, вычитания и умножения, что и в десятичной, но таблицы умножения и сложения проще.

Сложение

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 (перенос 1 в старший разряд)

Пример: 1011₂ + 1101₂

  1011
+ 1101
------
 11000  (результат 24₁₀, проверка: 11+13=24)

Вычитание

0 − 0 = 0
1 − 0 = 1
1 − 1 = 0
0 − 1 = 1 (заём из старшего разряда)

Пример: 1100₂ − 1011₂

  1100
- 1011
------
  0001  (результат 1₁₀, проверка: 12-11=1)

Умножение

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

Умножение в столбик выполняется так же, как в десятичной системе, но промежуточные суммы состоят только из нулей или самого числа, сдвинутого на соответствующий разряд.

Перевод дробных чисел

Для дробных чисел алгоритмы аналогичны, но с точкой (запятой) разряды нумеруются в отрицательную степень основания. Дробная часть переводится последовательным умножением на основание целевой системы.

Пример: перевести 0,625₁₀ в двоичную.

0,625 × 2 = 1,25 → целая часть 1
0,25 × 2 = 0,5 → целая часть 0
0,5 × 2 = 1,0 → целая часть 1

Результат: 0,101₂. Проверка: $1\cdot2^{-1}+0\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}=0,5+0+0,125=0,625$ .

Частые ошибки при переводе

Неправильная нумерация разрядов. Помните: крайний правый разряд — номер 0, а не 1.
Путаница символов в системах с основанием > 10. Например, в шестнадцатеричной системе буква A соответствует 10, B — 11, и т.д.
Забывание дополнить лидирующими нулями при группировке в триады/тетрады.
Перевод дробной части только делением. Дробная часть переводится умножением, а не делением (деление применяется только для целой части).

Использование онлайн-калькулятора систем счисления, расположенного выше, поможет быстро проверить свои расчёты и избежать подобных ошибок. Просто введите число и выберите исходную систему — инструмент покажет перевод во все популярные системы и пошаговое решение.

Часто задаваемые вопросы

Какие системы счисления поддерживает калькулятор?

Калькулятор поддерживает перевод чисел между системами с основаниями от 2 до 36. Это означает, что вы можете работать не только с привычными двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами, но и с любыми другими, используя цифры 0-9 и буквы латинского алфавита A-Z.

Как перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную без калькулятора?

Разбейте двоичное число на группы по 4 цифры (тетрады) справа налево, при необходимости дополнив лидирующими нулями. Затем каждую тетраду замените соответствующей шестнадцатеричной цифрой по таблице. Например, 110101(2) → 0011 0101 → 35(16).

Почему в шестнадцатеричной системе используются буквы?

В шестнадцатеричной системе основание 16, а цифр от 0 до 9 всего десять. Для обозначения значений от 10 до 15 применяют первые буквы латинского алфавита: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Это позволяет записывать числа компактно.

Как перевести дробное число из десятичной системы в двоичную?

Дробная часть переводится последовательным умножением на 2. Целые части каждого умножения (0 или 1) образуют двоичные разряды после запятой. Например, 0,37510: 0,375×2=0,75 (0), 0,75×2=1,5 (1), 0,5×2=1,0 (1) → 0,011(2).

В чём разница между позиционной и непозиционной системой счисления?

В позиционной системе значение цифры зависит от её места (разряда) в числе: например, в числе 222 одна и та же цифра «2» в разных разрядах обозначает 200, 20 и 2. В непозиционной системе (например, римская) значение символа не зависит от положения, а определяется только его видом.

Как проверить правильность перевода числа?

Выполните обратный перевод: из полученного числа в исходную систему. Если результат совпадает с исходным числом, перевод верен. Калькулятор на этой странице автоматически показывает пошаговое решение, которое позволяет проверить каждый этап.

Почему компьютеры используют двоичную систему, а не десятичную?

Электронные схемы проще и надёжнее различают два устойчивых состояния (включено/выключено, высокий/низкий уровень напряжения). Десятичная система потребовала бы десяти различных уровней, что значительно усложнило бы конструкцию и снизило помехоустойчивость.

Калькулятор систем счисления