Калькулятор систем счисления

Что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью определённого набора символов (цифр). Если значение цифры зависит от её положения (разряда) в записи числа, такую систему называют позиционной. Основание позиционной системы равно количеству используемых цифр. Например, в десятичной системе основание 10 (цифры 0–9), в двоичной — 2 (цифры 0 и 1). Именно позиционные системы лежат в основе современных вычислений, и наш калькулятор работает с ними.

Основные системы счисления

Перевод из любой системы счисления в десятичную

Чтобы перевести число из системы с основанием $b$ в десятичную, нужно каждую цифру умножить на $b$ в степени, равной номеру разряда (нумерация справа налево, начиная с 0). Затем сложить результаты.

Формула:
$(d_n d_{n-1} \dots d_1 d_0)_{(b)} = d_n \cdot b^n + d_{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + d_1 \cdot b^1 + d_0 \cdot b^0$

Пример 1: перевод двоичного числа 1101₂ в десятичную

$1101_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}$

Пример 2: перевод шестнадцатеричного числа 2F₁₆ в десятичную

$2F_{16} = 2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0 = 32 + 15 = 47_{10}$
(буква F соответствует числу 15)

Перевод из десятичной системы в любую другую

Последовательно делите десятичное число на основание целевой системы, записывая остатки от деления. Полученные остатки, прочитанные в обратном порядке (снизу вверх), образуют искомое число.

Пример: перевести 47₁₀ в двоичную систему

Читаем остатки снизу вверх: 101111₂.
Проверка: $1\cdot2^5 + 0\cdot2^4 + 1\cdot2^3 + 1\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47$.

Быстрый перевод между системами 2, 8 и 16

Так как $8=2^3$ и $16=2^4$, перевод между этими системами можно выполнять без промежуточного преобразования в десятичную:

• Двоичная → Восьмеричная: разбейте двоичное число на группы по 3 цифры (триады) справа налево, дополнив лидирующими нулями при необходимости. Каждую триаду замените восьмеричной цифрой.
• Двоичная → Шестнадцатеричная: разбейте на группы по 4 цифры (тетрады) и замените каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой.
• Обратные переходы: каждую цифру исходной системы замените соответствующей триадой или тетрадой.

Таблица соответствия триад и тетрад

Пример: перевести 1101101₂ в шестнадцатеричную.
Разбиваем на тетрады: 110 1101 → 0110 1101 → 6D₁₆.

Арифметические операции в двоичной системе

В двоичной системе действуют те же правила сложения, вычитания и умножения, что и в десятичной, но таблицы умножения и сложения проще.

Сложение

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0 (перенос 1 в старший разряд)

Пример: 1011₂ + 1101₂

  1011
+ 1101
------
 11000  (результат 24₁₀, проверка: 11+13=24)

Вычитание

• 0 − 0 = 0
• 1 − 0 = 1
• 1 − 1 = 0
• 0 − 1 = 1 (заём из старшего разряда)

Пример: 1100₂ − 1011₂

  1100
- 1011
------
  0001  (результат 1₁₀, проверка: 12-11=1)

Умножение

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Умножение в столбик выполняется так же, как в десятичной системе, но промежуточные суммы состоят только из нулей или самого числа, сдвинутого на соответствующий разряд.

Перевод дробных чисел

Для дробных чисел алгоритмы аналогичны, но с точкой (запятой) разряды нумеруются в отрицательную степень основания. Дробная часть переводится последовательным умножением на основание целевой системы.

Пример: перевести 0,625₁₀ в двоичную.

• 0,625 × 2 = 1,25 → целая часть 1
• 0,25 × 2 = 0,5 → целая часть 0
• 0,5 × 2 = 1,0 → целая часть 1

Результат: 0,101₂. Проверка: $1\cdot2^{-1}+0\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}=0,5+0+0,125=0,625$.

Частые ошибки при переводе

• Неправильная нумерация разрядов. Помните: крайний правый разряд — номер 0, а не 1.
• Путаница символов в системах с основанием > 10. Например, в шестнадцатеричной системе буква A соответствует 10, B — 11, и т.д.
• Забывание дополнить лидирующими нулями при группировке в триады/тетрады.
• Перевод дробной части только делением. Дробная часть переводится умножением, а не делением (деление применяется только для целой части).

Использование онлайн-калькулятора систем счисления, расположенного выше, поможет быстро проверить свои расчёты и избежать подобных ошибок. Просто введите число и выберите исходную систему — инструмент покажет перевод во все популярные системы и пошаговое решение.