Посчитать определитель матрицы

Как посчитать определитель матрицы

Определитель (детерминант) квадратной матрицы — это число, которое характеризует ключевое свойство линейного преобразования: он показывает, во сколько раз это преобразование изменяет объём. Если определитель равен нулю, матрица вырожденная — она «сплющивает» пространство и не имеет обратной.

Ниже — формулы для матриц небольшого размера и универсальные методы для любых порядков. А онлайн-калькулятор в начале страницы посчитает определитель мгновенно, покажет все шаги решения.

Формулы для матриц 2×2 и 3×3

Матрица второго порядка

Для матрицы

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

определитель вычисляется элементарно:

$\det A = ad - bc$

Пример:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det A = 3 \cdot 7 - 5 \cdot 2 = 21 - 10 = 11$

Мatrix третьего порядка

Для матрицы 3×3 проще всего использовать правило Саррюса:

$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

На практике удобно «дописать» первые два столбца справа и посчитать произведения по диагоналям:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

• Три «прямые» диагонали (↘): их произведения суммируются.
• Три «обратные» диагонали (↙): их произведения вычитаются.

Пример:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

$\det A = 2 \cdot 4 \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \cdot 2 - 3 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \cdot 5$

$= 40 + 1 + 0 - 12 - 4 - 0 = 25$

Метод Гаусса — универсальный способ

Для матриц 4×4 и выше правило Саррюса неприменимо, а разложение по строкам требует вычисления множества подопределителей. Метод Гаусса решает задачу за O(n³) операций.

Суть: элементарными преобразованиями строк приведите матрицу к верхнетреугольному виду (все элементы ниже главной диагонали — нули). Тогда:

$\det A = a_{11}' \cdot a_{22}' \cdot a_{33}' \cdots a_{nn}'$

Какие преобразования допустимы (они не меняют определитель или меняют знак предсказуемо):

Пошаговый пример (матрица 4×4):

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

Шаг 1. Из третьей строки вычтем первую строку × 2 (R₃ → R₃ − 2R₁):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 6 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

Шаг 2. Из четвертой строки вычтем вторую × 2 (R₄ → R₄ − 2R₂):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}$

Шаг 3. К четвёртой строке прибавим третью (R₄ → R₄ + R₃):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Матрица приведена к верхнетреугольному виду. Определитель:

$\det A = 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9$

Разложение по строке (алгебраические дополнения)

Этот метод рекурсивный: определитель матрицы n × n выражается через n определителей матриц (n−1) × (n−1).

$\det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$

где M_{ij} — минор (определитель подматрицы, полученной вычёркиванием i-й строки и j-го столбца).

Совет: выбирайте строку (или столбец) с наибольшим числом нулей — это сокращает число вычислений.

Пример: разложение по первой строке для матрицы 3×3:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

$\det A = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$= 2 \cdot (1 \cdot 3 - 4 \cdot 2) - 0 + 1 \cdot (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1)$

$= 2 \cdot (-5) + 5 = -5$

Свойства определителя, которые упрощают вычисление

Зная эти свойства, можно упростить матрицу до тривиального вида ещё до расчёта.

1. Транспонирование не меняет определитель.
2. Две одинаковые строки (столбца) → определитель равен нулю.
3. Две пропорциональные строки → определитель равен нулю.
4. Треугольная матрица → определитель равен произведению диагональных элементов.
5. Произведение матриц: det(AB) = det(A) · det(B).
6. Обратная матрица: det(A⁻¹) = 1 / det(A).

Практический приём: если вы видите, что вторая строка — это первая, умноженная на 3, не считайте дальше. Ответ: 0.

Какой метод выбрать?

Для проверки ответа в Excel используйте функцию =МОПРЕД(диапазон).