Посчитать логарифм

14 июня 2026 г.

Логарифм числа x по основанию a – это показатель степени, в который нужно возвести a, чтобы получить x. Например, log₂(8) = 3, потому что 2³ = 8.

Чтобы посчитать логарифм вручную, сначала проверьте, сводится ли задача к простому уравнению aⁿ = x. Если результат неочевиден – используйте свойства логарифмов или формулу перехода к другому основанию.

Калькулятор выше считает натуральные (ln), десятичные (lg) и логарифмы с произвольным основанием. Введите число и основание, чтобы получить точное значение.

Как посчитать логарифм без калькулятора?

Если число раскладывается в целую степень основания, ответ находится сразу:

log₅(125) = 3, так как 5³ = 125
log₃(1/27) = −3, так как 3⁻³ = 1/27

Для сложных случаев применяют свойства логарифма:

Произведение: logₐ(b·c) = logₐb + logₐc
Частное: logₐ(b/c) = logₐb − logₐc
Степень: logₐ(bⁿ) = n·logₐb

Пример: найдём log₃(54).

Разложим 54 = 27 · 2 = 3³ · 2. Тогда log₃(54) = log₃(3³) + log₃(2) = 3 + log₃(2). Первое слагаемое точное, второе можно оставить как есть или вычислить приближённо через формулу перехода.

Формула перехода к другому основанию

Когда основание неудобное, переходят к основанию 10 или e:

logₐb = ln b / ln a = lg b / lg a

Это главный инструмент для приближённого счёта вручную. Если известны значения ln или lg из таблицы, можно найти любой логарифм делением.

Пример: log₄(15) = ln 15 / ln 4 ≈ 2,708 / 1,386 ≈ 1,953.

Как считать логарифм в уме?

Запомните четыре тождества:

logₐ(1) = 0
logₐ(a) = 1
logₐ(aⁿ) = n
logₐ(1/aⁿ) = −n

Для быстрой оценки полезны степени двойки, тройки и пятерки. Например, 2⁷ = 128 и 2⁸ = 256. Значит, log₂(200) лежит между 7 и 8, ближе к 8, потому что 200 ближе к 192, чем к 256.

Область допустимых значений: типичные ошибки

Логарифм существует только при:

Числе больше 0: x > 0
Основании больше 0 и не равном 1: a > 0, a ≠ 1

Попытка найти log₁(5) или log(−3) приводит к ошибке – таких значений в действительных числах не существует.

Где применяются логарифмы

Логарифмическая шкала работает там, где величины меняются на порядки:

Акустика: децибелы – логарифм отношения мощностей звука. Прирост на 10 дБ означает десятикратный рост мощности.
Химия: pH = −lg[H⁺]. Каждая единица pH – десятикратное изменение концентрации ионов водорода.
Информатика: двоичный логарифм показывает, сколько бит нужно для кодирования заданного числа состояний. Например, log₂(256) = 8 бит = 1 байт.

Таблица часто используемых логарифмов

Выражение	Результат	Пояснение
log₂(64)	6	2⁶ = 64
log₃(81)	4	3⁴ = 81
log₁₀(1000)	3	10³ = 1000
ln(e)	1	e¹ = e
log₅(0,2)	−1	5⁻¹ = 1/5 = 0,2
log₂(1)	0	Любое основание в степени 0 даёт 1

Часто задаваемые вопросы

Можно ли посчитать логарифм отрицательного числа?

Нет. Логарифм определён только для положительных чисел. Любое положительное основание в действительной степени даёт положительный результат, поэтому уравнение aʸ = x при x ≤ 0 не имеет решения в действительных числах.

Чем натуральный логарифм отличается от десятичного?

Натуральный логарифм ln имеет основание e ≈ 2,718, а десятичный lg – основание 10. Они отличаются масштабом, но связаны формулой ln x = lg x / lg e. В математике и физике чаще используют ln, в инженерии – lg.

Как перейти от логарифма по одному основанию к другому?

Используйте формулу logₐb = logₙb / logₙa, где n – любое новое допустимое основание. Обычно выбирают 10 или e, так как их значения проще найти в таблицах или на инженерном калькуляторе.

Почему основание логарифма не может быть равно 1?

При a = 1 выражение 1ʸ всегда равно 1 при любом показателе. Уравнение 1ʸ = x имеет решение только при x = 1, при других x оно неразрешимо, поэтому единичное основание исключается из определения.

Как посчитать логарифм в Excel?

Используйте =LOG(число; основание). Для натурального логарифма применяйте =LN(число), для десятичного – =LOG10(число). Если основание не указано, в разных локалях Excel может использоватьось основание 10 по умолчанию.

Что делать, если логарифм получился дробным?

Это нормально. Например, log₂(6) ≈ 2,585, потому что 6 лежит между 2² = 4 и 2³ = 8. Дробное значение оставляют как приближённое или округляют до нужного количества знаков после запятой.