Посчитать количество чисел

Чтобы посчитать количество чисел от 15 до 20, недостаточно вычесть меньшее из большего. Разность показывает только «расстояние» между границами, а не количество позиций. Чисел здесь шесть: 15, 16, 17, 18, 19 и 20. Универсальная формула для любого замкнутого диапазона: конец − начало + 1. Например, 20 − 15 + 1 = 6.

Калькулятор выше сразу применяет эти правила – достаточно задать начало и конец отрезка. Ниже разобраны частные случаи и типичные ловушки.

Сколько чисел от A до B включительно?

Если обе границы входят в диапазон, количество целых чисел находят по формуле:

N = b − a + 1

где a – первое число, b – последнее.

Пример: сколько чисел от 7 до 11 inclusive? 11 − 7 + 1 = 5. Проверка: 7, 8, 9, 10, 11 – действительно пять значений.

Формула работает и с отрицательными числами. От −3 до 2 получается 2 − (−3) + 1 = 6 чисел: −3, −2, −1, 0, 1, 2.

Как посчитать количество чисел между значениями без границ?

Когда нужны только числа, строго лежащие между a и b, сами границы исключают:

N = b − a − 1

Пример: между 10 и 20 находятся только значения от 11 до 19. 20 − 10 − 1 = 9.

Как посчитать количество чётных, нечётных и кратных чисел?

Для подсчёта чисел с конкретным признаком удобнее целочисленное деление (без остатка).

• Чётные от a до b включительно: (b // 2) − ((a − 1) // 2)
• Нечётные от a до b включительно: ((b + 1) // 2) − (a // 2)
• Кратные k от a до b включительно: (b // k) − ((a − 1) // k)

Здесь // – деление нацело.

Пример с чётными: сколько их от 1 до 50? (50 // 2) − ((1 − 1) // 2) = 25 − 0 = 25.

Пример с кратными 7: сколько чисел от 1 до 100 делятся на 7? (100 // 7) − (0 // 7) = 14 − 0 = 14.

Сколько n-значных чисел существует?

Числа одного разряда образуют непрерывный блок. Общее количество n-значных чисел:

N = 9 × 10^(n−1)

• Однозначных: 9 × 10⁰ = 9 (от 1 до 9)
• Двузначных: 9 × 10¹ = 90 (от 10 до 99)
• Трёхзначных: 9 × 10² = 900 (от 100 до 999)
• Четырёхзначных: 9 × 10³ = 9 000 (от 1 000 до 9 999)

Главные ошибки при подсчёте

1. Пропускают +1. Разность b − a – это шаг между первым и последним элементом, а не их количество. Единица восполняет потерянную при вычитании стартовую позицию.
2. Путают «от – до» и «между». «От 5 до 10» обычно включает 5 и 10, а «между 5 и 10» – исключает.
3. Считают разряды с нуля. Двузначные числа начинаются с 10, а не с 00.
4. Округляют кратные вручную. При подсчёте чисел, делящихся на k, проще использовать целочисленное деление, чем выписывать ряд.

Разбор типовых задач

Задача 1. Сколько чисел от 34 до 78 включительно? Решение: 78 − 34 + 1 = 45.

Задача 2. Сколько нечётных чисел между 20 и 40? Решение: первое нечётное – 21, последнее – 39. По формуле ((39 + 1) // 2) − (21 // 2) = 20 − 10 = 10.

Задача 3. Сколько трёхзначных чисел делится на 5? Решение: первое – 100, последнее – 995. По формуле кратных: (995 // 5) − ((100 − 1) // 5) = 199 − 19 = 180.