Площадь трапеции: формула расчета и примеры

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные стороны называют основаниями, боковые стороны — непараллельными. Площадь трапеции — это численная характеристика фигуры, показывающая, сколько квадратных единиц занимает её внутренняя область. В зависимости от известных параметров, площадь можно вычислить по одной из нескольких формул.

Основные формулы площади трапеции

Через основания и высоту

Самый распространённый способ. Если известны длины оснований a и b (обычно a — верхнее, b — нижнее, но это не принципиально) и высота h (перпендикулярное расстояние между основаниями), то площадь вычисляется по формуле:

S = ½ (a + b) · h

Эта формула универсальна для любого типа трапеции: прямоугольной, равнобедренной и произвольной.

Пример:
a = 5 см, b = 9 см, h = 4 см.
S = ½ (5 + 9) · 4 = ½ · 14 · 4 = 28 см².

Через среднюю линию

Средняя линия трапеции m — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Её длина равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2. Тогда площадь можно найти как произведение средней линии на высоту:

S = m · h

Эта формула особенно удобна, если средняя линия известна или легко находится.

Пример:
m = 6 см, h = 5 см.
S = 6 · 5 = 30 см².

Через диагонали и угол между ними

Если известны длины диагоналей d₁ и d₂ и угол α между ними, площадь трапеции равна половине произведения диагоналей на синус угла:

S = ½ · d₁ · d₂ · sin α

Формула подходит для любой трапеции, но чаще применяется в задачах с равнобедренной трапецией, где диагонали равны.

Пример:
d₁ = 10 см, d₂ = 12 см, α = 30° (sin 30° = 0,5).
S = ½ · 10 · 12 · 0,5 = 30 см².

Через четыре стороны (для равнобедренной трапеции)

Для равнобедренной трапеции, у которой боковые стороны c равны, а основания a и b (a < b), площадь можно найти по формуле:

S = ((a + b) / 2) · √(c² — ((b — a) / 2)²)

Эта формула получается из разбиения трапеции на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

Пример:
a = 6 см, b = 14 см, c = 5 см.
S = ((6 + 14) / 2) · √(5² — ((14 — 6) / 2)²) = 10 · √(25 — 16) = 10 · 3 = 30 см².

Через радиус вписанной окружности (для трапеции, в которую вписана окружность)

Если в трапецию можно вписать окружность (сумма оснований равна сумме боковых сторон), то площадь вычисляется по формуле:

S = p · r

где p — полупериметр трапеции (p = (a + b + c + d) / 2), а r — радиус вписанной окружности.

Пример:
Основания 8 см и 12 см, боковые стороны по 10 см. Полупериметр: p = (8 + 12 + 10 + 10) / 2 = 20 см. Радиус вписанной окружности для такой трапеции равен половине высоты. Высоту найдём через формулу равнобедренной трапеции: h = √(10² — ((12 — 8) / 2)²) = √(100 — 4) = √96 ≈ 9,80 см. r = h / 2 ≈ 4,90 см. Тогда S ≈ 20 · 4,90 = 98 см².

Примеры задач на нахождение площади трапеции

Задача 1. Базовый расчёт

Дана трапеция с основаниями 7 см и 13 см и высотой 6 см. Найдите площадь.

Решение:
S = ½ (7 + 13) · 6 = ½ · 20 · 6 = 60 см².

Задача 2. Через среднюю линию

Средняя линия трапеции равна 8 см, высота — 4,5 см. Какова площадь?

Решение:
S = 8 · 4,5 = 36 см².

Задача 3. Через диагонали

Диагонали трапеции равны 15 см и 20 см, угол между ними составляет 60°. Найдите площадь.

Решение:
sin 60° ≈ 0,8660.
S = ½ · 15 · 20 · 0,8660 ≈ 129,9 см².

Важные замечания

• При расчётах используйте единые единицы измерения. Если основания даны в метрах, а высота в сантиметрах, переведите всё в одну систему.
• Высота трапеции — это кратчайшее расстояние между основаниями, измеренное по перпендикуляру. В прямоугольной трапеции высота совпадает с боковой стороной, прилежащей к прямому углу.
• Для произвольной трапеции, не являющейся равнобедренной, формула через четыре стороны не применяется, так как высота не выражается однозначно через стороны.

Зная эти формулы, вы сможете решать большинство задач на площадь трапеции, встречающихся в школьном курсе геометрии и на экзаменах. Если вам нужно выполнить расчёт быстро, воспользуйтесь онлайн-калькулятором на нашем сайте — он автоматически подберёт подходящую формулу и выдаст готовый результат.