Перевод градусов в минуты, секунды и радианы

Что обычно имеют в виду под «переводом градусов»

Запрос «перевод градусов» почти всегда про угловую меру, а не про температуру. На практике нужны три операции:

1. градусы–минуты–секунды (DMS) ↔ десятичные градусы;
2. градусы ↔ радианы;
3. нормализация записи (минуты и секунды в диапазоне 0–59) и обратная проверка.

Ниже — формулы, порядок действий и примеры. Онлайн-калькулятор на странице считает то же самое автоматически; этот текст поможет понять, откуда берётся результат и где чаще ошибаются вручную.

Единицы угла: градус, минута, секунда

Запись 45° 30′ 18″ читается как «45 градусов 30 минут 18 секунд». Десятичные градусы — та же величина одной дробью: например 45,505°.

Радиан связан с длиной дуги: угол 1 радиан отсекает на окружности дугу, равную радиусу. Полный круг:

[ 2\pi \text{ рад} = 360°, \quad \pi \text{ рад} = 180°. ]

Перевод градусов, минут и секунд в десятичные градусы

Формула:

[ \alpha_{\text{dec}} = D + \frac{M}{60} + \frac{S}{3600} ]

где (D) — целые градусы, (M) — минуты, (S) — секунды (могут быть дробными).

Пример. 12° 15′ 36″:

[ 12 + \frac{15}{60} + \frac{36}{3600} = 12 + 0{,}25 + 0{,}01 = 12{,}26°. ]

Отрицательный угол. Знак берут общим для всей величины. Для −12° 15′ 36″ сначала считают модуль 12,26°, затем ставят минус: −12,26°. Не смешивайте «минус только у градусов» с положительными минутами — в разных ГИС это даёт разные трактовки; безопаснее работать с модулем и одним знаком в конце.

Перевод десятичных градусов в градусы, минуты и секунды

Пусть (\alpha) — десятичное значение (для отрицательных работайте с (|\alpha|), знак вернёте в конце).

1. Градусы: (D = \lfloor |\alpha| \rfloor) (целая часть).
2. Минуты: дробную часть умножьте на 60; целая часть — минуты (M).
3. Секунды: дробную часть минут умножьте на 60 — получите (S). При необходимости округлите (S) и подправьте перенос разрядов.

Формально:

[ \begin{aligned} D &= \lfloor |\alpha| \rfloor, \ M &= \lfloor (|\alpha| - D) \cdot 60 \rfloor, \ S &= \bigl((|\alpha| - D) \cdot 60 - M\bigr) \cdot 60. \end{aligned} ]

Пример. 12,26°:

• (D = 12);
• (0{,}26 \times 60 = 15{,}6) → (M = 15);
• (0{,}6 \times 60 = 36) → (S = 36).

Итого: 12° 15′ 36″ — обратный ход к предыдущему примеру сходится.

Ещё пример с округлением. 3,97° (часто приводят как ориентир наклона Пизанской башни):

• (D = 3);
• (0{,}97 \times 60 = 58{,}2) → (M = 58);
• (0{,}2 \times 60 = 12) → (S = 12).

3° 58′ 12″. Если показывать доли секунд, на шаге секунд оставляют дробь без принудительного округления до целых.

Нормализация DMS

После сложения, вычитания или грубого округления минуты или секунды могут выйти за 0–59. Приведите запись к канону:

• пока (S \ge 60): (S \leftarrow S - 60), (M \leftarrow M + 1);
• пока (S < 0): (S \leftarrow S + 60), (M \leftarrow M - 1);
• то же для минут относительно градусов.

Иначе «61 минута» и «1° 1′» будут разными строками одной и той же величины — неудобно сравнивать и искать ошибки.

Градусы в радианы и радианы в градусы

Градусы → радианы:

[ \alpha_{\text{rad}} = \alpha° \cdot \frac{\pi}{180} ]

Радианы → градусы:

[ \alpha° = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi} ]

Опорные значения (удобно для проверки):

Пример. 12,26° в радианы:

[ 12{,}26 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0{,}21398 \text{ рад}. ]

Обратно: (0{,}21398 \cdot 180 / \pi \approx 12{,}26°).

В языках программирования и инженерных пакетах тригонометрические функции по умолчанию ждут радианы. Подача градусов без перевода — типичная причина «плывущих» графиков и неверных углов в CAD/GIS.

Цепочка: DMS → десятичные → радианы

Когда угол дан как 12° 15′ 36″, а в формуле нужен синус в радианах:

1. DMS → десятичные: 12,26°;
2. градусы → радианы: (12{,}26 \cdot \pi / 180);
3. уже затем (\sin), (\cos), поворот вектора и т.д.

В обратную сторону после вычислений: радианы → десятичные градусы → DMS для отчёта, карты или прибора.

Частые ошибки

• Делят минуты на 100, а не на 60. Десятичная запись угла — не «минуты как сотые». 30′ — это 0,5°, а не 0,30°.
• Путают угловые минуты/секунды со временем. Обозначения ′ и ″ похожи, но угловая минута — 1/60 градуса, не минута времени.
• Теряют знак у широты/долготы или у ориентированного угла поворота.
• Не переносят разряды после округления секунд (59,998″ → 60,00″ должно стать +1′).
• Смешивают градусы и радианы в одном выражении без множителя (\pi/180) или (180/\pi).
• Путают с градами (гон) — редко, но в геодезии встречается: прямой угол = 100 гон, полный круг = 400. Это не градусы sexagesimal.

Краткая шпаргалка

DMS → decimal:   dec = D + M/60 + S/3600
decimal → DMS:   D = floor(dec)
                 M = floor((dec−D)·60)
                 S = ((dec−D)·60 − M)·60
° → rad:         rad = deg · π/180
rad → °:         deg = rad · 180/π

Для пакетного перевода списков координат или азимутов удобнее калькулятор: меньше ошибок округления «вручную на каждом шаге» и единообразная точность (задайте нужное число знаков после запятой и при необходимости доли секунд).

Если нужна температура (°C ↔ °F ↔ K), это отдельная задача с другими формулами — к угловому «переводу градусов» она не относится.