Модуль скорости

Что такое модуль скорости

Скорость — векторная величина: она характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Модуль скорости — это длина вектора скорости, её численное значение без учёта направления. Модуль всегда неотрицателен и обозначается символом $v$ (без стрелки или черты сверху).

В зависимости от условий задачи модуль скорости определяют разными способами: через проекции вектора, через путь и время, через производную координаты.

Формула модуля скорости через проекции

Это наиболее универсальный способ. Если известны проекции вектора скорости на оси координат, модуль находят по теореме Пифагора:

Двумерное движение (плоскость):

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Трёхмерное движение (пространство):

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

где $v_x$, $v_y$, $v_z$ — проекции вектора скорости на оси $OX$, $OY$, $OZ$.

Важно: проекции могут быть отрицательными (если вектор направлен против оси), но при возведении в квадрат знак пропадает, и модуль всегда получается положительным.

Пример

Тело движется со скоростью, проекции которой $v_x = 3$ м/с, $v_y = -4$ м/с. Модуль скорости:

$v = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ м/с}$

Несмотря на то, что проекция $v_y$ отрицательна, модуль равен 5 м/с.

Модуль скорости при равномерном прямолинейном движении

При равномерном прямолинейном движении скорость не меняется ни по модулю, ни по направлению. В этом случае модуль скорости определяется простейшей формулой:

$v = \frac{s}{t}$

где $s$ — путь (или модуль перемещения, поскольку при движении без изменения направления они совпадают), $t$ — время.

Пример

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Модуль скорости:

$v = \frac{180}{2} = 90 \text{ км/ч} = 25 \text{ м/с}$

Модуль мгновенной скорости через производную

При неравномерном движении модуль скорости меняется со временем. Мгновенная скорость определяется как производная пути по времени:

$v = \frac{ds}{dt}$

Если задано уравнение движения в координатах, сначала находят проекции скорости как производные соответствующих координат:

$v_x = \frac{dx}{dt}, \quad v_y = \frac{dy}{dt}$

Затем модуль вычисляют через проекции.

Пример

Координаты тела изменяются по законам: $x = 2t$, $y = 3t^2$ (в СИ). Определим модуль скорости в момент $t = 2$ с.

1. Проекции скорости: $v_x = \dot{x} = 2$ м/с, $v_y = \dot{y} = 6t = 6 \cdot 2 = 12$ м/с.
2. Модуль: $v = \sqrt{2^2 + 12^2} = \sqrt{4 + 144} = \sqrt{148} \approx 12{,}2$ м/с.

Модуль скорости при равнопеременном движении

Если движение происходит с постоянным ускорением, модуль скорости в момент времени $t$:

$v = |v_0 + a_t \cdot t|$

где $v_0$ — начальная скорость, $a_t$ — проекция ускорения на направление движения (тангенциальное ускорение). Для прямолинейного движения с ускорением, направленным вдоль одной оси:

$v = \sqrt{v_0^2 + 2as}$

где $a$ — ускорение, $s$ — пройденный путь.

Пример

Тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) с ускорением $a = 2$ м/с². Модуль скорости через 5 секунд:

$v = 0 + 2 \cdot 5 = 10 \text{ м/с}$

Модуль скорости и средняя путевая скорость: в чём разница

Частая ошибка — путать модуль мгновенной скорости со средней путевой скоростью.

Пример: автомобиль проехал 100 км туда и 100 км обратно за 4 часа. Средняя путевая скорость — 50 км/ч, а модуль средней скорости (перемещения) — 0 км/ч, поскольку результирующее перемещение равно нулю.

Типичные ошибки при определении модуля скорости

1. Забывают извлечь корень. После сложения квадратов проекций нужно извлечь квадратный корень — именно он даёт модуль.

2. Путают путь и перемещение. Формула $v = s/t$ для равномерного движения использует путь (скаляр), а формула $\vec{v} = \Delta\vec{r}/\Delta t$ — перемещение (вектор). Модуль скорости через перемещение: $v = |\Delta\vec{r}|/\Delta t$.

3. Игнорируют знак проекции. При подстановке отрицательной проекции в формулу $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ знак не важен (квадрат убирает минус), но при расчёте по $v = v_0 + a_xt$ знак проекции ускорения критичен.

4. Считают модуль средней скорости равным среднему арифметическому модулей. Это верно только для равномерного движения на участках одинаковой длительности. В общем случае $v_{\text{ср}} \neq (v_1 + v_2)/2$.