Образование Информатика5 октября 2026 г.

Калькулятор системы счисления

Конвертер систем счисления онлайн: переводите числа из двоичной, восьмеричной, десятичной или шестнадцатеричной системы с пошаговым решением.

Все калькуляторы раздела «Информатика» (16) →

Что такое позиционная система счисления

Система счисления — способ записи чисел с помощью ограниченного набора символов. В позиционной системе значение каждой цифры зависит от её места в записи числа: чем левее позиция, тем она «весомее». Количество уникальных символов называется основанием (базой) системы.

Общая формула значения числа в позиционной записи:

N = d_{n-1} \cdot b^{n-1} + d_{n-2} \cdot b^{n-2} + \ldots + d_1 \cdot b^1 + d_0 \cdot b^0

где $b$ — основание системы, $d_i$ — цифра на позиции $i$ , нумерация позиций идёт справа налево начиная с нуля.

Основные системы счисления

Название	Основание	Символы	Применение
Двоичная (BIN)	2	0, 1	Внутренняя логика процессоров и памяти
Восьмеричная (OCT)	8	0–7	Права доступа Unix/Linux, адресация
Десятичная (DEC)	10	0–9	Повседневные расчёты
Шестнадцатеричная (HEX)	16	0–9, A–F	Цвета HTML/CSS, адреса памяти, MAC-адреса
Произвольная	2–36	0–9, A–Z	Специальные задачи программирования

Основание записывают нижним индексом: $200_{10} = 11001000_2 = 310_8 = \text{C8}_{16}$ .

Перевод в десятичную систему

Любое число из системы с основанием $b$ переводится в десятичную по формуле разложения: каждую цифру умножают на степень основания, соответствующую её позиции, затем суммируют результаты.

Двоичное → десятичное:

1011_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11_{10}

Восьмеричное → десятичное:

567_8 = 5 \cdot 8^2 + 6 \cdot 8^1 + 7 \cdot 8^0 = 320 + 48 + 7 = 375_{10}

Шестнадцатеричное → десятичное (A = 10, F = 15):

\text{A5}_{16} = 10 \cdot 16^1 + 5 \cdot 16^0 = 160 + 5 = 165_{10}

Метод универсален: меняйте только основание $b$ и состав алфавита цифр.

Перевод из десятичной системы

Для перевода целого числа из десятичной в систему с основанием $b$ применяют метод последовательного деления: число делят на $b$ , записывают остаток, затем делят частное — и так до нуля. Цифры результата читают снизу вверх.

Пример: $45_{10}$ → двоичная

Делимое	Частное	Остаток
45	22	1
22	11	0
11	5	1
5	2	1
2	1	0
1	0	1

Читаем остатки снизу вверх: $45_{10} = 101101_2$ .

Проверка: $101101_2 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45_{10}$ ✓

Для восьмеричной или шестнадцатеричной систем алгоритм идентичен — меняется только делитель (8 или 16).

Быстрый перевод между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной

Поскольку $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$ , между этими тремя системами существует прямой способ перевода без промежуточных вычислений через десятичную.

BIN → OCT: сгруппируйте биты по 3 справа налево (крайнюю левую группу дополните нулями). Каждую тройку замените одной восьмеричной цифрой.

BIN → HEX: сгруппируйте биты по 4 справа налево. Каждую четвёрку замените одной шестнадцатеричной цифрой.

Пример: $11010111_2$ → OCT и HEX

Группы по 3:  011 | 010 | 111  →  3  2  7  →  327₈
Группы по 4:  1101 | 0111      →  D     7  →  D7₁₆

Проверка: $327_8 = 192 + 16 + 7 = 215_{10}$ , $\text{D7}_{16} = 208 + 7 = 215_{10}$ ✓

Обратный перевод (OCT → BIN, HEX → BIN) работает симметрично: каждую цифру разворачивают в триаду или тетраду битов соответственно.

Таблица перевода чисел 0–16

DEC	BIN	OCT	HEX
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Обратите внимание: с $\text{DEC} = 8$ в восьмеричной появляется второй разряд, а с $\text{DEC} = 16$ — в шестнадцатеричной. Это наглядно показывает, как переполняется разряд при достижении основания.

Типичные ошибки при переводе

Обратный порядок остатков. При методе деления остатки записывают снизу вверх. Если прочитать их сверху вниз — получится совершенно другое число.

Неверная нумерация позиций. Правая (младшая) цифра — это позиция 0, а не 1. Смещение на единицу даёт ошибку в степени основания и неверный результат уже на первом разряде.

Неполная тетрада при BIN → HEX. Крайнюю левую группу нужно дополнить ведущими нулями до четырёх бит: $101011_2$ делится на $\underline{10}|1011$ → дополняем → $0010|1011$ → $2\text{B}_{16}$ . Без дополнения левый разряд будет считаться неверно.

Путаница буквы и цифры в HEX. В числе $\text{B8}_{16}$ буква B — это цифра 11, а не 8. При ручном счёте удобно сразу подписывать десятичные значения букв.

Часто задаваемые вопросы

Почему в шестнадцатеричной системе используются буквы A–F?

Система требует 16 уникальных символов, а арабских цифр только десять (0–9). Для значений 10–15 используют латинские буквы: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. Это соглашение принято во всех языках программирования и стандартах — допускаются как строчные, так и прописные буквы.

Как перевести дробное число в двоичную систему?

Дробную часть умножают на основание (2) и берут целую часть результата — это первый бит после запятой. Операцию повторяют с оставшейся дробью до получения нуля или нужной точности. Например: 0,625₁₀ → 0,625×2=1,25 (бит 1), 0,25×2=0,5 (бит 0), 0,5×2=1,0 (бит 1) → 0,101₂.

Как перевести из восьмеричной в шестнадцатеричную без десятичной?

Используйте двоичную систему как промежуточную: OCT → BIN → HEX. Каждую восьмеричную цифру разверните в триаду битов, затем перегруппируйте биты по четыре справа налево и замените каждую тетраду шестнадцатеричной цифрой. Это быстрее двух отдельных переводов через десятичную.

Что означает нижний индекс после числа, например 1010₂?

Нижний индекс обозначает основание системы счисления. 1010₂ — число в двоичной системе, 1010₈ — в восьмеричной, 1010₁₆ — в шестнадцатеричной. Без индекса число по умолчанию считается десятичным. В HTML-текстах и коде вместо индекса часто пишут основание в скобках: 1010(2).

Какие числа принимает калькулятор систем счисления?

Большинство онлайн-калькуляторов работают с целыми числами в системах с основанием от 2 до 36 (цифры 0–9 и буквы A–Z). Продвинутые инструменты поддерживают дробные числа через точку или запятую и отрицательные значения. Максимальная длина числа обычно составляет 30–50 символов.

Почему компьютеры используют двоичную систему, а не десятичную?

Транзистор устойчиво различает два состояния: есть напряжение (1) или нет (0). Реализовать десять стабильных уровней напряжения значительно сложнее конструктивно и менее надёжно. Двоичная логика — прямое следствие физики полупроводников, а не математическое предпочтение.

Как проверить правильность перевода числа?

Переведите результат обратно в исходную систему и сравните с оригиналом — они должны совпасть. Второй способ: переведите и исходное число, и результат в десятичную систему раздельно — оба должны дать одно и то же десятичное значение.

Похожие калькуляторы и статьи