Внешние углы треугольника ABC: как найти

Что такое внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с одним из его внутренних углов. Проще говоря, если продлить сторону треугольника за вершину, то угол между продолжением и другой стороной и будет внешним.

Ключевое свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Это свойство — основной инструмент для решения задач на нахождение внешних углов. Зная его, вы можете найти внешний угол, даже если не знаете смежный с ним внутренний.

Как найти внешние углы треугольника: основные способы

1. Через смежный внутренний угол

Самый очевидный способ: внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными, то есть их сумма равна 180°.

Формула:
Внешний угол = 180° – Внутренний угол

Пример:
Дан треугольник ABC. Известно, что ∠A = 40°. Тогда внешний угол при вершине A равен:
180° – 40° = 140°.

Этот метод удобен, когда внутренние углы уже найдены или даны в условии.

2. Через сумму двух других углов (теорема о внешнем угле)

Это самый ходовой способ в задачах по геометрии. Согласно теореме, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, которые не являются с ним смежными.

Формула:
Внешний угол при вершине A = ∠B + ∠C

Пример:
В треугольнике ABC ∠B = 50°, ∠C = 70°. Найдите внешний угол при вершине A.
Решение: 50° + 70° = 120°.
Проверить можно через смежный угол: 180° – (50° + 70°) = 60°, 180° – 60° = 120°. Результат совпадает.

3. Через пропорцию внутренних углов

Часто в задачах дано, что внутренние углы треугольника относятся как определённые числа (например, 2:5:8). Для нахождения внешних углов нужно сначала вычислить внутренние углы, а затем найти внешние любым из двух способов выше.

Алгоритм:

1. Обозначьте углы как kx, mx, nx, где k, m, n — коэффициенты пропорции.
2. Составьте уравнение: kx + mx + nx = 180°.
3. Найдите x, затем каждый внутренний угол.
4. Найдите внешний угол: 180° – внутренний или сумма двух других внутренних.

Разбор задач из реальных учебников

Рассмотрим типовые задачи, которые чаще всего встречаются в домашних заданиях и контрольных работах.

Задача 1: Внутренние углы пропорциональны числам 2, 5, 8

Условие: Внутренние углы треугольника ABC относятся как 2:5:8.
а) Найдите внутренние углы.
б) Найдите внешние углы треугольника ABC.

Решение:

а) Пусть углы равны 2x, 5x и 8x. Сумма углов треугольника 180°:

2x + 5x + 8x = 180°
15x = 180°
x = 12°

∠A = 2 _ 12° = 24°
∠B = 5 _ 12° = 60°
∠C = 8 * 12° = 96°

б) Найдём внешние углы двумя способами (для проверки):

• Внешний при вершине A: 180° – 24° = 156° (или 60° + 96° = 156°).
• Внешний при вершине B: 180° – 60° = 120° (или 24° + 96° = 120°).
• Внешний при вершине C: 180° – 96° = 84° (или 24° + 60° = 84°).

Ответ: Внутренние: 24°, 60°, 96°. Внешние: 156°, 120°, 84°.

Задача 2: Поиск углов по данному внешнему углу

Условие: На рисунке (типовой чертёж из учебника) внешний угол при вершине C равен 120°, а угол B равен 40°. Найдите углы треугольника ABC.

Решение:

1. Внутренний угол C = 180° – 120° = 60° (смежные углы).
2. Угол B = 40° (дан в условии; на рисунке часто показан как вертикальный или соответственный).
3. Угол A = 180° – (40° + 60°) = 80°.

Ответ: ∠A = 80°, ∠B = 40°, ∠C = 60°.

Задача 3: Использование биссектрисы

Условие: В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. ∠A = 50°, ∠B = 60°. Найдите углы треугольника CBD.

Решение:

1. Найдём ∠C в треугольнике ABC: ∠C = 180° – (50° + 60°) = 70°.
2. BD — биссектриса, значит ∠CBD = 60° / 2 = 30°.
3. В треугольнике CBD известны два угла: ∠CBD = 30°, ∠C = 70°.
4. ∠BDC = 180° – (30° + 70°) = 80°.

Ответ: Углы треугольника CBD: 30°, 70°, 80°.

Частые ошибки и как их избежать

• Путаница между смежным и внешним углом. Помните: внешний угол — это угол между стороной и продолжением другой стороны, а не между двумя сторонами.
• Неправильное применение теоремы. Внешний угол равен сумме двух других (не смежных) внутренних углов, а не всех трёх.
• Ошибки при решении пропорций. Всегда проверяйте, что сумма полученных внутренних углов равна 180°. Если получилось другое значение — ищите ошибку в уравнении.
• Забывают про биссектрису. Если в задаче есть биссектриса, она делит угол пополам. Это ключевой факт для нахождения недостающих углов.

Как проверить себя

Самый быстрый способ проверить правильность найденных внешних углов — сложить их. Взятые по одному при каждой вершине, они должны дать в сумме 360°.

Другой способ: для каждого внешнего угла проверьте, равен ли он сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.