Угол между прямыми: как найти, формулы, примеры

Угол между прямыми — одна из базовых задач аналитической геометрии. Она встречается в школьном курсе математики, на ЕГЭ профильного уровня, а также в вузовских дисциплинах. В этой статье разберём все основные способы нахождения угла между прямыми на плоскости и в пространстве, приведём формулы и пошаговые решения примеров. Материал будет полезен школьникам, студентам и всем, кто готовится к экзаменам.

Что такое угол между прямыми

Углом между двумя пересекающимися прямыми называют наименьший из углов, образованных при их пересечении. Этот угол всегда лежит в пределах от 0° до 90° включительно. Если прямые параллельны или совпадают, угол между ними равен 0°.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла: две пары вертикальных (равных) и четыре пары смежных (в сумме дающих 180°). Угол между прямыми — это острый угол (или прямой, если прямые перпендикулярны).

Угол между прямыми на плоскости

На плоскости прямые могут быть заданы различными способами. Для каждого способа существует своя формула.

1. Через угловые коэффициенты (уравнения с угловым коэффициентом)

Если прямые заданы уравнениями:

$y = k_1 x + b_1, \quad y = k_2 x + b_2$

то тангенс угла φ между ними вычисляется по формуле:

$\boxed{\tg\varphi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|}$

Важно: знак модуля в числителе и знаменателе гарантирует, что угол будет острым (или прямым). Если знаменатель обращается в ноль ($1 + k_1 k_2 = 0$), то прямые перпендикулярны, и угол равен 90°.

Пример 1. Найдите угол между прямыми $y = 2x + 3$ и $y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Решение:
$k_1 = 2$, $k_2 = -\frac{1}{2}$.
Проверим, перпендикулярны ли они: $k_1 \cdot k_2 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$ → да, перпендикулярны.
Значит, угол между ними равен 90°.

Пример 2. Найдите угол между прямыми $y = \frac{2}{3}x$ и $y = 3x + 1$.

Решение:
$k_1 = \frac{2}{3}$, $k_2 = 3$.
Подставляем в формулу:

$\tg\varphi = \left|\frac{3 - \frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3} \cdot 3}\right| = \left|\frac{\frac{7}{3}}{1 + 2}\right| = \frac{7}{9}$

Таким образом, $\varphi = \arctg\frac{7}{9}$. Приближённо это около 37,9°.

2. Через общее уравнение прямой

Если прямые заданы в общем виде:

$A_1 x + B_1 y + C_1 = 0, \quad A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$

то угол можно найти через нормальные векторы $\mathbf{n}_1 = (A_1, B_1)$ и $\mathbf{n}_2 = (A_2, B_2)$:

$\boxed{\cos\varphi = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}}$

Или, что то же самое, через направляющие векторы прямых $\mathbf{s}_1 = (B_1, -A_1)$ и $\mathbf{s}_2 = (B_2, -A_2)$:

$\boxed{\cos\varphi = \frac{|\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{s}_2|}{|\mathbf{s}_1| \cdot |\mathbf{s}_2|}}$

Пример 3. Найдите угол между прямыми $2x - 3y + 5 = 0$ и $x + 4y - 2 = 0$.

Решение:
Выпишем нормальные векторы: $\mathbf{n}_1 = (2, -3)$, $\mathbf{n}_2 = (1, 4)$.
Скалярное произведение: $2 \cdot 1 + (-3) \cdot 4 = 2 - 12 = -10$.
Модуль: $| -10 | = 10$.
Длины: $|\mathbf{n}_1| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$, $|\mathbf{n}_2| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$.
Тогда:

$\cos\varphi = \frac{10}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{10}{\sqrt{221}}$

Отсюда $\varphi = \arccos\frac{10}{\sqrt{221}}$. Приближённо около 47,3°.

3. Через направляющие векторы (универсальный способ)

Этот способ работает для любого вида задания прямых, если известны их направляющие векторы. Если прямые заданы каноническими уравнениями:

$\frac{x - x_1}{m_1} = \frac{y - y_1}{n_1}, \quad \frac{x - x_2}{m_2} = \frac{y - y_2}{n_2}$

то направляющие векторы: $\mathbf{s}_1 = (m_1, n_1)$, $\mathbf{s}_2 = (m_2, n_2)$. Формула та же:

$\cos\varphi = \frac{|\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{s}_2|}{|\mathbf{s}_1| \cdot |\mathbf{s}_2|}$

Если прямые заданы параметрически, направляющие векторы — коэффициенты при параметре.

Угол между прямыми в пространстве

В пространстве (трёхмерном) прямые могут быть:

• пересекающимися;
• параллельными;
• скрещивающимися.

Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому формула остаётся той же, что и для плоскости, но с тремя координатами.

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

$\frac{x - x_1}{m_1} = \frac{y - y_1}{n_1} = \frac{z - z_1}{p_1}, \quad \frac{x - x_2}{m_2} = \frac{y - y_2}{n_2} = \frac{z - z_2}{p_2}$

или параметрически:

Тогда направляющие векторы: $\mathbf{s}_1 = (m_1, n_1, p_1)$, $\mathbf{s}_2 = (m_2, n_2, p_2)$. Угол между прямыми:

$\boxed{\cos\varphi = \frac{|m_1 m_2 + n_1 n_2 + p_1 p_2|}{\sqrt{m_1^2 + n_1^2 + p_1^2} \cdot \sqrt{m_2^2 + n_2^2 + p_2^2}}}$

Пример 4. Найдите угол между прямыми:

$\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}, \quad \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+1}{-2}$

Решение:
Направляющие векторы: $\mathbf{s}_1 = (2, -1, 4)$, $\mathbf{s}_2 = (1, 2, -2)$.
Скалярное произведение: $2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 4 \cdot (-2) = 2 - 2 - 8 = -8$.
Модуль: $8$.
Длины: $|\mathbf{s}_1| = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$, $|\mathbf{s}_2| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.
Тогда:

$\cos\varphi = \frac{8}{3\sqrt{21}} \approx 0,581$

$\varphi = \arccos(0,581) \approx 54,5°$.

Частные случаи и проверка

Типичные ошибки

1. Забывают поставить модуль в формуле косинуса или тангенса. Без модуля можно получить угол более 90°, что неверно для угла между прямыми.
2. Путают нормальный и направляющий вектор. Для прямой, заданной общим уравнением $Ax+By+C=0$, нормальный вектор — $(A,B)$, а направляющий — $(B,-A)$.
3. Неправильно определяют направляющий вектор из канонического уравнения: знаменатели — это координаты направляющего вектора, а числители — координаты точки.
4. Не проверяют параллельность/перпендикулярность до вычислений: это может упростить задачу.

Как использовать наш калькулятор

Наш онлайн-калькулятор позволяет быстро найти угол между прямыми, заданными общими уравнениями на плоскости или направляющими векторами в пространстве.

Введите коэффициенты A и B для каждой прямой на плоскости либо координаты направляющих векторов в пространстве, и калькулятор выдаст численное значение угла в градусах и радианах. Это особенно полезно для проверки домашних заданий и подготовки к ЕГЭ.

Теперь вы знаете все основные способы нахождения угла между прямыми. Пользуйтесь формулами, проверяйте себя и не забывайте про модуль!