ОбразованиеМатематика

Найти угол хорды

Узнайте, как найти угол хорды в окружности: между хордами, между хордой и касательной, центральный и вписанный углы. Формулы, примеры, онлайн-калькулятор.

Дуги между хордами (в градусах)
Градусная мера первой дуги
Градусная мера второй дуги
Дуга, стягиваемая хордой
Дуга, на которую опирается хорда
Дуги между сторонами угла
Большая из дуг
Меньшая из дуг
Размеры окружности
Длина хорды
Радиус окружности
Единицы измерения
Однаковых для хорды и радиуса
Данные для расчёта
Угол в центре окружности
Как работают эти формулы?

Между хордами: γ = (α + β) / 2
Угол равен полусумме дуг.

Хорда и касательная: γ = дуга / 2
Равен половине стягиваемой дуги.

Хорда и секущая: γ = (большая − малая) / 2
Половина разности дуг.

Центральный угол по хорде: α = 2·arcsin(c / 2R)
В радианах, затем в градусы умножаем на 180/π.

Вписанный угол: γ = α / 2
Равен половине центрального угла на ту же дугу.

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Математика» (124) →

Что такое угол хорды и зачем его искать

В геометрии окружности хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. С хордой связано несколько видов углов: центральный (вершина в центре), вписанный (вершина на окружности), угол между двумя хордами, угол между хордой и касательной, а также угол между хордой и секущей. Каждый из этих углов вычисляется по‑своему, и на практике часто требуется найти именно угол, образованный хордой с другими элементами окружности.

Эта статья поможет вам быстро сориентироваться в формулах и примерах, чтобы найти любой угол, связанный с хордой.

1. Угол между двумя пересекающимися хордами

Если две хорды пересекаются внутри окружности, угол между ними равен полусумме дуг, заключённых между сторонами этого угла (и противоположного ему).

Формула:
γ=α+β2\gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}
где α\alpha и β\beta — градусные меры дуг, на которые опираются противоположные углы.

Пример:
Пусть дуги, заключённые между сторонами угла, равны 40∘40^\circ и 70∘70^\circ. Тогда угол между хордами:

γ=40∘+70∘2=55∘.\gamma = \frac{40^\circ + 70^\circ}{2} = 55^\circ.

2. Угол между хордой и касательной

Если из точки касания провести хорду, то угол между касательной и этой хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.

Формула:
γ=12⋅дугаAB\gamma = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга}_{AB}
где ABAB — хорда.

Пример:
Хорда стягивает дугу в 120∘120^\circ. Угол между касательной и хордой:

γ=120∘2=60∘.\gamma = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.

3. Угол между хордой и секущей

Когда из точки вне окружности проведены касательная и секущая, угол между ними равен половине разности дуг, заключённых между сторонами угла. Если секущая пересекает окружность в двух точках, а хорда является частью секущей, то применяется та же логика.

Формула:

γ=12(дугабольшая−дугамалая)\gamma = \frac{1}{2} \left( \text{дуга}_{большая} - \text{дуга}_{малая} \right)

Пример:
Большая дуга 150∘150^\circ, малая 30∘30^\circ. Угол:

γ=150∘−30∘2=60∘.\gamma = \frac{150^\circ - 30^\circ}{2} = 60^\circ.

4. Центральный угол, соответствующий хорде

Центральный угол, опирающийся на хорду, можно найти по длине хорды и радиусу окружности.

Формула (в радианах):
α=2⋅arcsin⁡(c2R)\alpha = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{c}{2R}\right)
где cc — длина хорды, RR — радиус.
Чтобы перевести в градусы, умножьте на 180/π180/\pi.

Пример:
Радиус 10 см, хорда 12 см.

sin⁡(α/2)=122⋅10=0,6⇒α/2≈36,87∘⇒α≈73,74∘.\sin(\alpha/2) = \frac{12}{2 \cdot 10} = 0{,}6 \quad \Rightarrow \quad \alpha/2 \approx 36{,}87^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 73{,}74^\circ.

5. Вписанный угол, опирающийся на хорду

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Формула:
γ=α2\gamma = \frac{\alpha}{2}
где α\alpha — центральный угол.

Пример:
Если центральный угол 73,74∘73{,}74^\circ, то вписанный угол:

γ=36,87∘.\gamma = 36{,}87^\circ.

Сводная таблица

Тип углаФормулаЧто нужно знать
Между пересекающимися хордамиγ=(α+β)/2\gamma = (\alpha + \beta)/2Дуги между сторонами
Между хордой и касательнойγ=дуга/2\gamma = \text{дуга}/2Дуга, стягиваемая хордой
Между хордой и секущейγ=(дуга∗б−дуга∗м)/2\gamma = (\text{дуга}*б - \text{дуга}*м)/2Две дуги, заключённые между сторонами
Центральный по хорде и радиусуα=2arcsin⁡(c/(2R))\alpha = 2\arcsin(c/(2R))Длина хорды и радиус
Вписанный (опирающийся на хорду)γ=α/2\gamma = \alpha/2Центральный угол или дуга

Частые ошибки

  • Путают центральный и вписанный углы: помните, что вписанный всегда в два раза меньше центрального, если они опираются на одну и ту же дугу.
  • Для угла между хордой и касательной берут не ту дугу: нужна дуга, стягиваемая хордой, а не вся окружность.
  • При вычислении центрального угла через арксинус забывают, что результат может быть как в градусах, так и в радианах — проверяйте режим калькулятора.

Теперь вы знаете, как найти угол хорды в любой типовой ситуации. Если нужно быстро выполнить расчёт, воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором на этой странице — он автоматически применит все формулы.

Часто задаваемые вопросы

Как найти угол между двумя пересекающимися хордами?
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами. Если известны градусные меры дуг, которые «вырезают» хорды, сложите их и разделите на два. Если дуги неизвестны, но известны длины отрезков хорд, можно использовать теорему о пересекающихся хордах, но для угла она не даёт прямого значения – потребуются дополнительные данные об окружности.
Чему равен угол между хордой и касательной?
Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой. Другими словами, он равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Это свойство часто используется в задачах ЕГЭ и олимпиадах.
Как найти центральный угол, если известна длина хорды и радиус?
Центральный угол α (в радианах) вычисляется по формуле α = 2·arcsin(c/(2R)), где c – длина хорды, R – радиус окружности. Для перевода в градусы умножьте результат на 180/π. Этот угол определяет дугу, на которую опирается хорда.
В чём разница между центральным и вписанным углом, опирающимися на одну хорду?
Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а его величина равна градусной мере дуги. Вписанный угол лежит на окружности, его величина равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, если известен один, легко найти другой.
Можно ли найти угол хорды, зная только её длину и радиус?
Да, если речь идёт о центральном угле, который соответствует хорде. По длине хорды и радиусу вычисляется центральный угол по формуле из предыдущего ответа. Если нужен вписанный угол, он будет в два раза меньше. Если же требуется угол между двумя хордами, то без данных о дугах или взаимном расположении хорд не обойтись.