Найти угол хорды
Узнайте, как найти угол хорды в окружности: между хордами, между хордой и касательной, центральный и вписанный углы. Формулы, примеры, онлайн-калькулятор.
Что такое угол хорды и зачем его искать
В геометрии окружности хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. С хордой связано несколько видов углов: центральный (вершина в центре), вписанный (вершина на окружности), угол между двумя хордами, угол между хордой и касательной, а также угол между хордой и секущей. Каждый из этих углов вычисляется по‑своему, и на практике часто требуется найти именно угол, образованный хордой с другими элементами окружности.
Эта статья поможет вам быстро сориентироваться в формулах и примерах, чтобы найти любой угол, связанный с хордой.
1. Угол между двумя пересекающимися хордами
Если две хорды пересекаются внутри окружности, угол между ними равен полусумме дуг, заключённых между сторонами этого угла (и противоположного ему).
Формула:
[
\gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}
]
где (\alpha) и (\beta) — градусные меры дуг, на которые опираются противоположные углы.
Пример:
Пусть дуги, заключённые между сторонами угла, равны (40^\circ) и (70^\circ). Тогда угол между хордами:
[
\gamma = \frac{40^\circ + 70^\circ}{2} = 55^\circ.
]
2. Угол между хордой и касательной
Если из точки касания провести хорду, то угол между касательной и этой хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.
Формула:
[
\gamma = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга}_{AB}
]
где (AB) — хорда.
Пример:
Хорда стягивает дугу в (120^\circ). Угол между касательной и хордой:
[
\gamma = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.
]
3. Угол между хордой и секущей
Когда из точки вне окружности проведены касательная и секущая, угол между ними равен половине разности дуг, заключённых между сторонами угла. Если секущая пересекает окружность в двух точках, а хорда является частью секущей, то применяется та же логика.
Формула:
[
\gamma = \frac{1}{2} \left( \text{дуга}{большая} - \text{дуга}{малая} \right)
]
Пример:
Большая дуга (150^\circ), малая (30^\circ). Угол:
[
\gamma = \frac{150^\circ - 30^\circ}{2} = 60^\circ.
]
4. Центральный угол, соответствующий хорде
Центральный угол, опирающийся на хорду, можно найти по длине хорды и радиусу окружности.
Формула (в радианах):
[
\alpha = 2 \cdot \arcsin\left(\frac{c}{2R}\right)
]
где (c) — длина хорды, (R) — радиус.
Чтобы перевести в градусы, умножьте на (180/\pi).
Пример:
Радиус 10 см, хорда 12 см.
[
\sin(\alpha/2) = \frac{12}{2 \cdot 10} = 0{,}6 \quad \Rightarrow \quad \alpha/2 \approx 36{,}87^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 73{,}74^\circ.
]
5. Вписанный угол, опирающийся на хорду
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Формула:
[
\gamma = \frac{\alpha}{2}
]
где (\alpha) — центральный угол.
Пример:
Если центральный угол (73{,}74^\circ), то вписанный угол:
[
\gamma = 36{,}87^\circ.
]
Сводная таблица
| Тип угла | Формула | Что нужно знать |
|---|---|---|
| Между пересекающимися хордами | (\gamma = (\alpha + \beta)/2) | Дуги между сторонами |
| Между хордой и касательной | (\gamma = \text{дуга}/2) | Дуга, стягиваемая хордой |
| Между хордой и секущей | (\gamma = (\text{дуга}*б - \text{дуга}*м)/2) | Две дуги, заключённые между сторонами |
| Центральный по хорде и радиусу | (\alpha = 2\arcsin(c/(2R))) | Длина хорды и радиус |
| Вписанный (опирающийся на хорду) | (\gamma = \alpha/2) | Центральный угол или дуга |
Частые ошибки
- Путают центральный и вписанный углы: помните, что вписанный всегда в два раза меньше центрального, если они опираются на одну и ту же дугу.
- Для угла между хордой и касательной берут не ту дугу: нужна дуга, стягиваемая хордой, а не вся окружность.
- При вычислении центрального угла через арксинус забывают, что результат может быть как в градусах, так и в радианах — проверяйте режим калькулятора.
Теперь вы знаете, как найти угол хорды в любой типовой ситуации. Если нужно быстро выполнить расчёт, воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором на этой странице — он автоматически применит все формулы.