Найти угол хорды

Если в задаче сказано «найти угол хорды», сначала нужно понять, какой именно угол имеется в виду: центральный угол, вписанный угол или угол между хордой и касательной. Для каждого случая используется своя формула, но все они связаны с одной идеей: хорда стягивает дугу окружности, а угол зависит от этой дуги.

Что известно?
c ≤ 2R, иначе хорда не поместится в окружность Радиус окружности
Результаты

Калькулятор выше помогает посчитать угол, связанный с хордой окружности, если известны исходные данные: длина хорды и радиус, градусная мера дуги, центральный угол или вписанный угол. В расчётах используются стандартные геометрические формулы для окружности.

Как найти угол хорды?

Самый частый случай – нужно найти центральный угол, который опирается на хорду. Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого проходят через концы хорды.

Если известны длина хорды c и радиус окружности R, центральный угол α находится по формуле:

α = 2 · arcsin(c / 2R)

где:

  • α – центральный угол;
  • c – длина хорды;
  • R – радиус окружности;
  • arcsin – обратная функция синуса.

Формула работает при условии:

0 < c ≤ 2R

Если c = 2R, хорда является диаметром, а центральный угол равен 180°.

Формулы для разных углов, связанных с хордой

Одна и та же хорда может участвовать в разных углах. Чтобы не перепутать решение, удобно ориентироваться по положению вершины угла.

Что нужно найтиГде вершина углаФормула
Центральный уголВ центре окружностиα = 2 · arcsin(c / 2R)
Вписанный уголНа окружностиβ = α / 2
Угол между хордой и касательнойВ точке касанияγ = α / 2
Центральный угол по дугеВ центре окружностиα = m, где m – градусная мера дуги
Вписанный угол по дугеНа окружностиβ = m / 2

Главное правило: вписанный угол и угол между хордой и касательной равны половине дуги, на которую они опираются.

Как найти угол между хордой и касательной?

Угол между хордой и касательной равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри угла.

Если известен центральный угол α, опирающийся на ту же хорду, то:

γ = α / 2

Если известна дуга m, то:

γ = m / 2

Пример: хорда стягивает дугу 124°. Тогда угол между этой хордой и касательной к окружности в конце хорды равен:

γ = 124° / 2 = 62°

Этот угол равен вписанному углу, который опирается на ту же дугу.

Пример 1: найти центральный угол по хорде и радиусу

Дано:

  • длина хорды c = 10;
  • радиус окружности R = 8.

Подставим значения в формулу:

α = 2 · arcsin(10 / (2 · 8))
α = 2 · arcsin(10 / 16)
α = 2 · arcsin(0,625)

arcsin(0,625) ≈ 38,68°

Тогда:

α ≈ 2 · 38,68° = 77,36°

Ответ: центральный угол, опирающийся на хорду длиной 10 при радиусе 8, примерно равен 77,36°.

Пример 2: найти вписанный угол по центральному

Дано:

  • центральный угол α = 96°;
  • вписанный угол β опирается на ту же хорду.

Формула:

β = α / 2

Расчёт:

β = 96° / 2 = 48°

Ответ: вписанный угол равен 48°.

Пример 3: найти угол хорды по дуге

Дано:

  • хорда стягивает дугу m = 150°;
  • нужно найти вписанный угол, опирающийся на эту хорду.

Формула:

β = m / 2

Расчёт:

β = 150° / 2 = 75°

Ответ: вписанный угол равен 75°.

Если бы требовался центральный угол, он был бы равен самой дуге:

α = 150°

Как проверить, что расчёт возможен

Перед вычислением угла по хорде и радиусу проверьте соотношение:

c ≤ 2R

Это означает, что хорда не может быть длиннее диаметра окружности.

Например:

  • R = 6, диаметр 12, хорда 10 – расчёт возможен;
  • R = 6, диаметр 12, хорда 14 – такой хорды в этой окружности быть не может.

Также важно использовать одинаковые единицы измерения. Если радиус дан в сантиметрах, длина хорды тоже должна быть в сантиметрах.

Частые ошибки при нахождении угла хорды

Самые распространённые ошибки связаны не с арифметикой, а с выбором неправильного угла.

  1. Путают центральный и вписанный угол.
    Центральный угол равен дуге, а вписанный – половине этой дуги.

  2. Берут не ту дугу.
    Хорда делит окружность на 2 дуги. Если в задаче не уточнено, обычно рассматривают меньшую дугу и меньший центральный угол.

  3. Забывают умножить на 2 в формуле через arcsin.
    Формула для центрального угла: α = 2 · arcsin(c / 2R), а не просто arcsin(c / 2R).

  4. Используют градусы и радианы одновременно.
    Калькулятор или таблица может выдавать значение в радианах. Для школьных задач чаще нужен ответ в градусах.

  5. Не проверяют длину хорды.
    Если хорда больше диаметра, исходные данные противоречат геометрии окружности.

Короткая памятка

Чтобы быстро найти угол хорды, выберите подходящий случай:

  • известны хорда и радиус: α = 2 · arcsin(c / 2R);
  • известен центральный угол: вписанный угол β = α / 2;
  • известна дуга: центральный угол α = m, вписанный β = m / 2;
  • нужен угол между хордой и касательной: он равен половине соответствующей дуги.

Если в условии просто сказано «угол хорды», смотрите на рисунок: вершина в центре даёт центральный угол, вершина на окружности – вписанный, а касательная в точке хорды – угол между хордой и касательной.

Часто задаваемые вопросы

Что такое хорда окружности?
Хорда – это отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Диаметр тоже является хордой, но особой: он проходит через центр окружности и равен 2 радиусам. Угол, связанный с хордой, зависит от того, где находится вершина угла.
Можно ли найти угол хорды только по длине хорды?
Нет, одной длины хорды недостаточно. Нужен хотя бы радиус окружности, диаметр или дополнительная информация об угле и дуге. Одна и та же хорда длиной 10 см в окружностях разного радиуса будет соответствовать разным центральным углам.
Почему вписанный угол равен половине центрального?
Вписанный угол опирается на ту же дугу, что и центральный, но его вершина лежит на окружности. В геометрии доказано, что мера такого угла равна половине меры дуги, а центральный угол равен мере этой дуги.
Какой угол образует диаметр с окружностью?
Если хорда является диаметром, то центральный угол, опирающийся на неё, равен 180°. Любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Это частный случай теоремы Фалеса.
Чем отличается угол хорды от угла дуги?
Угол хорды обычно означает угол, связанный с хордой: центральный, вписанный или угол между хордой и касательной. Дуга измеряется в градусах как часть окружности. Центральный угол численно равен градусной мере соответствующей дуги.
Как найти меньший и больший угол для одной хорды?
Одна хорда делит окружность на 2 дуги: меньшую и большую. Меньшему центральному углу соответствует меньшая дуга, больший угол равен 360° минус меньший. В школьных задачах обычно ищут меньший центральный угол, если не указано иное.