Что такое собственная скорость катера?

Собственная скорость — это скорость катера в стоячей воде, без влияния течения. Её обозначают vк или vсобств. Именно от этой величины отталкиваются при расчёте движения по течению и против него.

В каких единицах измерять скорость катера и реки?

Обычно в задачах используют км/ч, реже — м/с. Главное правило: все скорости в одном расчёте должны быть в одинаковых единицах. Если даны разные, сначала переведите их к одной размерности.

Можно ли складывать скорость катера и скорость ветра?

В школьных задачах на движение по воде учитывают только течение реки. Ветер отдельно не складывают, если об этом прямо не сказано в условии. Для катера базовая модель — v ± u, где u — скорость течения.

Что быстрее: по течению или в стоячей воде?

По течению катер идёт быстрее собственной скорости: течение «подталкивает» его. В стоячей воде скорость равна собственной. Против течения скорость меньше собственной.

Как проверить, правильно ли найдена скорость течения?

Сложите скорость по течению и против течения и разделите сумму пополам — получите собственную скорость. Разность этих же скоростей, делённая пополам, даст скорость течения. Так удобно делать проверку.

Чем катер отличается от плота в задачах?

Плот не имеет собственной скорости: он движется только со скоростью течения. У катера, лодки или теплохода есть мотор, поэтому их скорость относительно берега равна собственной плюс или минус скорость реки.

Найти скорость катера: формулы и расчёт

Что означает «найти скорость катера»

В школьных задачах под скоростью катера почти всегда имеют в виду одну из трёх величин:

собственную скорость — в стоячей (спокойной) воде;
скорость по течению — относительно берега, когда река помогает;
скорость против течения — относительно берега, когда река мешает.

Запрос «найти скорость катера» закрывается формулами связи этих величин и скоростью течения реки. Ниже — все нужные соотношения, алгоритм и разобранные примеры.

Основные обозначения и формулы

Величина	Обозначение	Как найти
Собственная скорость катера	$v$	$v = \dfrac{v{+}+v{-}}{2}$
Скорость течения	$u$	$u = \dfrac{v{+}-v{-}}{2}$
Скорость по течению	$v_{+}$	$v_{+} = v + u$
Скорость против течения	$v_{-}$	$v_{-} = v - u$

Где:

$v$ — скорость катера в стоячей воде;
$u$ — скорость течения реки;
$v_{+}$ — скорость относительно берега по течению;
$v_{-}$ — скорость относительно берега против течения.

Связь с путём и временем Classic:

$S = v \cdot t, \quad v = \frac{S}{t}, \quad t = \frac{S}{v}.$

Для участка по течению подставляют $v*{+}$ , для участка против течения — $v*{-}$ .

Как найти скорость катера по течению

Если известны собственная скорость и скорость реки:

$v_{+} = v + u.$

Пример. Собственная скорость катера $35{,}7$ км/ч, скорость течения $4{,}6$ км/ч.

$v_{+} = 35{,}7 + 4{,}6 = 40{,}3 \text{ км/ч}.$

Течение увеличивает скорость относительно берега: числа просто складывают.

Как найти скорость катера против течения

$v_{-} = v - u.$

Для тех же данных:

$v_{-} = 35{,}7 - 4{,}6 = 31{,}1 \text{ км/ч}.$

Важно: собственная скорость должна быть больше скорости течения, иначе катер не сможет идти вверх по реке (в реальной физике; в типовых школьных задачах это почти всегда соблюдено).

Как найти собственную скорость катера

Частый тип условия: даны скорость по течению и против течения, найти «свою» скорость мотора.

$v = \frac{v*{+} + v*{-}}{2}.$

Пример. По течению катер идёт $24$ км/ч, против — $16$ км/ч.

$v = \frac{24 + 16}{2} = 20 \text{ км/ч}.$

Почему так: при сложении $v+u$ и $v-u$ течение «сокращается», остаётся удвоенная собственная скорость.

Как найти скорость течения реки

$u = \frac{v*{+} - v*{-}}{2}.$

Для данных выше:

$u = \frac{24 - 16}{2} = 4 \text{ км/ч}.$

Проверка: $20+4=24$ , $20-4=16$ — сходится.

Если известны путь и время

Скорость катера (в нужном режиме) находят из определения:

$v = \frac{S}{t}.$

Пример. Катер прошёл $48$ км по течению за $2$ часа.

$v_{+} = \frac{48}{2} = 24 \text{ км/ч}.$

Если затем против течения тот же путь занял $3$ часа:

$v_{-} = \frac{48}{3} = 16 \text{ км/ч},$

и дальше по формулам выше получают $v = 20$ км/ч и $u = 4$ км/ч.

Когда участок «туда-обратно» разный по времени, удобно завести таблицу:

Участок	Скорость	Время	Путь
По течению	$v+u$	$t_1$	$S_1$
Против течения	$v-u$	$t_2$	$S_2$

Подставляют известное, выражают неизвестное, при необходимости составляют уравнение.

Пошаговый алгоритм решения задачи

Выпишите, что дано: $v$ , $u$ , $v*{+}$ , $v*{-}$ , $S$ , $t$ — какие именно.
Определите, что искать: скорость катера в каком смысле (собственная / по течению / против).
Приведите единицы к одним (все в км/ч или все в м/с).
Выберите формулу из таблицы выше; при движении «туда-обратно» свяжите путь и время.
Посчитайте и проверьте: $v*{+} = v+u$ , $v*{-} = v-u$ , либо полусумма и полуразность $v*{+}$ и $v*{-}$ .

Частые ошибки

Путают собственную скорость со скоростью относительно берега. В ответе всегда уточняйте: «по течению», «против» или «в стоячей воде».
Вычитают не в ту сторону. Против течения: из собственной вычитают скорость реки, а не наоборот.
Среднее арифметическое скоростей «туда» и «обратно» принимают за среднюю скорость всего маршрута. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не $\frac{v*{+}+v*{-}}{2}$ . Полусумма даёт именно собственную скорость, а не среднюю на круге.
Складывают величины в разных единицах (км/ч и м/с).
Забывают, что у плота $v = 0$ — его скорость равна только $u$ .

Краткая шпаргалка

По течению: сложить собственную скорость и скорость реки.
Против течения: вычесть скорость реки из собственной.
Собственная: полусумма скоростей по течению и против.
Течение: полуразность скоростей по течению и против.
Из пути и времени: $v = S/t$ , затем при необходимости пересчёт через $v \pm u$ .

Этих четырёх соотношений достаточно, чтобы найти скорость катера в любой типовой задаче 5–6 класса и в большинстве задач ОГЭ на движение по воде.

Похожие калькуляторы и статьи