Что такое собственная скорость катера?

Собственная скорость — это скорость катера в стоячей воде, без влияния течения. Её обозначают vк или vсобств. Именно от этой величины отталкиваются при расчёте движения по течению и против него.

В каких единицах измерять скорость катера и реки?

Обычно в задачах используют км/ч, реже — м/с. Главное правило: все скорости в одном расчёте должны быть в одинаковых единицах. Если даны разные, сначала переведите их к одной размерности.

Можно ли складывать скорость катера и скорость ветра?

В школьных задачах на движение по воде учитывают только течение реки. Ветер отдельно не складывают, если об этом прямо не сказано в условии. Для катера базовая модель — v ± u, где u — скорость течения.

Что быстрее: по течению или в стоячей воде?

По течению катер идёт быстрее собственной скорости: течение «подталкивает» его. В стоячей воде скорость равна собственной. Против течения скорость меньше собственной.

Как проверить, правильно ли найдена скорость течения?

Сложите скорость по течению и против течения и разделите сумму пополам — получите собственную скорость. Разность этих же скоростей, делённая пополам, даст скорость течения. Так удобно делать проверку.

Чем катер отличается от плота в задачах?

Плот не имеет собственной скорости: он движется только со скоростью течения. У катера, лодки или теплохода есть мотор, поэтому их скорость относительно берега равна собственной плюс или минус скорость реки.

Найти скорость катера: формулы и расчёт

Что означает «найти скорость катера»

В школьных задачах под скоростью катера почти всегда имеют в виду одну из трёх величин:

собственную скорость — в стоячей (спокойной) воде;
скорость по течению — относительно берега, когда река помогает;
скорость против течения — относительно берега, когда река мешает.

Запрос «найти скорость катера» закрывается формулами связи этих величин и скоростью течения реки. Ниже — все нужные соотношения, алгоритм и разобранные примеры.

Основные обозначения и формулы

Величина	Обозначение	Как найти
Собственная скорость катера	(v)	(v = \dfrac{v{+}+v{-}}{2})
Скорость течения	(u)	(u = \dfrac{v{+}-v{-}}{2})
Скорость по течению	(v_{+})	(v_{+} = v + u)
Скорость против течения	(v_{-})	(v_{-} = v - u)

Где:

(v) — скорость катера в стоячей воде;
(u) — скорость течения реки;
(v_{+}) — скорость относительно берега по течению;
(v_{-}) — скорость относительно берега против течения.

Связь с путём и временем Classic:

[ S = v \cdot t, \quad v = \frac{S}{t}, \quad t = \frac{S}{v}. ]

Для участка по течению подставляют (v*{+}), для участка против течения — (v*{-}).

Как найти скорость катера по течению

Если известны собственная скорость и скорость реки:

[ v_{+} = v + u. ]

Пример. Собственная скорость катера (35{,}7) км/ч, скорость течения (4{,}6) км/ч.

[ v_{+} = 35{,}7 + 4{,}6 = 40{,}3 \text{ км/ч}. ]

Течение увеличивает скорость относительно берега: числа просто складывают.

Как найти скорость катера против течения

[ v_{-} = v - u. ]

Для тех же данных:

[ v_{-} = 35{,}7 - 4{,}6 = 31{,}1 \text{ км/ч}. ]

Важно: собственная скорость должна быть больше скорости течения, иначе катер не сможет идти вверх по реке (в реальной физике; в типовых школьных задачах это почти всегда соблюдено).

Как найти собственную скорость катера

Частый тип условия: даны скорость по течению и против течения, найти «свою» скорость мотора.

[ v = \frac{v*{+} + v*{-}}{2}. ]

Пример. По течению катер идёт (24) км/ч, против — (16) км/ч.

[ v = \frac{24 + 16}{2} = 20 \text{ км/ч}. ]

Почему так: при сложении (v+u) и (v-u) течение «сокращается», остаётся удвоенная собственная скорость.

Как найти скорость течения реки

[ u = \frac{v*{+} - v*{-}}{2}. ]

Для данных выше:

[ u = \frac{24 - 16}{2} = 4 \text{ км/ч}. ]

Проверка: (20+4=24), (20-4=16) — сходится.

Если известны путь и время

Скорость катера (в нужном режиме) находят из определения:

[ v = \frac{S}{t}. ]

Пример. Катер прошёл (48) км по течению за (2) часа.

[ v_{+} = \frac{48}{2} = 24 \text{ км/ч}. ]

Если затем против течения тот же путь занял (3) часа:

[ v_{-} = \frac{48}{3} = 16 \text{ км/ч}, ]

и дальше по формулам выше получают (v = 20) км/ч и (u = 4) км/ч.

Когда участок «туда-обратно» разный по времени, удобно завести таблицу:

Участок	Скорость	Время	Путь
По течению	(v+u)	(t_1)	(S_1)
Против течения	(v-u)	(t_2)	(S_2)

Подставляют известное, выражают неизвестное, при необходимости составляют уравнение.

Пошаговый алгоритм решения задачи

Выпишите, что дано: (v), (u), (v*{+}), (v*{-}), (S), (t) — какие именно.
Определите, что искать: скорость катера в каком смысле (собственная / по течению / против).
Приведите единицы к одним (все в км/ч или все в м/с).
Выберите формулу из таблицы выше; при движении «туда-обратно» свяжите путь и время.
Посчитайте и проверьте: (v*{+} = v+u), (v*{-} = v-u), либо полусумма и полуразность (v*{+}) и (v*{-}).

Частые ошибки

Путают собственную скорость со скоростью относительно берега. В ответе всегда уточняйте: «по течению», «против» или «в стоячей воде».
Вычитают не в ту сторону. Против течения: из собственной вычитают скорость реки, а не наоборот.
Среднее арифметическое скоростей «туда» и «обратно» принимают за среднюю скорость всего маршрута. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не (\frac{v*{+}+v*{-}}{2}). Полусумма даёт именно собственную скорость, а не среднюю на круге.
Складывают величины в разных единицах (км/ч и м/с).
Забывают, что у плота (v = 0) — его скорость равна только (u).

Краткая шпаргалка

По течению: сложить собственную скорость и скорость реки.
Против течения: вычесть скорость реки из собственной.
Собственная: полусумма скоростей по течению и против.
Течение: полуразность скоростей по течению и против.
Из пути и времени: (v = S/t), затем при необходимости пересчёт через (v \pm u).

Этих четырёх соотношений достаточно, чтобы найти скорость катера в любой типовой задаче 5–6 класса и в большинстве задач ОГЭ на движение по воде.