Как найти определитель матрицы

Что такое определитель матрицы

Определитель (детерминант) — это число, которое ставится в соответствие любой квадратной матрице. Квадратная матрица — та, у которой количество строк равно количеству столбцов: 2×2, 3×3, 4×4 и так далее.

Обозначается определитель как det(A) или |A|, где A — название матрицы. Порядок определителя совпадает с размером матрицы: для матрицы 2×2 это определитель второго порядка, для 3×3 — третьего.

Зачем он нужен? Определитель показывает, ведёт ли себя матрица «хорошо» при преобразованиях. Если определитель не равен нулю — у матрицы существует обратная матрица, система уравнений имеет единственное решение. Если равен нулю — матрица вырожденная, и многие операции с ней невозможны.

Формула определителя матрицы 2×2

Для матрицы второго порядка формула проста и запоминается легко:

$$|A| = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$$

Проще говоря: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример вычисления

Дана матрица:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \ 1 & -4 \end{pmatrix}$$

Подставляем в формулу:

$$|A| = 3 \cdot (-4) - 7 \cdot 1 = -12 - 7 = -19$$

Ответ: определитель равен −19.

Как найти определитель матрицы 3×3

Для матрицы третьего порядка существует несколько методов. Рассмотрим два самых распространённых.

Метод 1: Правило Саррюса

Правило Саррюса — визуальный способ, основанный на достраивании матрицы.

Алгоритм:

1. Справа от матрицы дописываем первые два столбца
2. Складываем произведения элементов, стоящих на трёх диагоналях слева направо (главные диагонали)
3. Складываем произведения элементов на трёх диагоналях справа налево (побочные диагонали)
4. Вычитаем из первой суммы вторую

Пример по правилу Саррюса

Матрица:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \ 1 & 3 & 2 \ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$

Дописываем столбцы:

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & | & 2 & -1 \ 1 & 3 & 2 & | & 1 & 3 \ 0 & 1 & -2 & | & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Главные диагонали (слева направо):

• 2 · 3 · (−2) = −12
• (−1) · 2 · 0 = 0
• 0 · 1 · (−1) = 0
• Сумма: −12

Побочные диагонали (справа налево):

• 0 · 3 · 0 = 0
• (−1) · 1 · 2 = −2
• 2 · 1 · (−1) = −2
• Сумма: −4

Определитель: |A| = (−12) − (−4) = −12 + 4 = −8

Метод 2: Разложение по строке или столбцу

Этот метод универсален и работает для матриц любого размера. Его идея: определитель раскладывается в сумму произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Для элемента a₁₁ алгебраическое дополнение равно минору (определителю матрицы без первой строки и первого столбца), умноженному на (−1)^(1+1).

Для разложения по первой строке матрицы 3×3 формула:

$$|A| = a_{11} \cdot M_{11} - a_{12} \cdot M_{12} + a_{13} \cdot M_{13}$$

где M₁₁, M₁₂, M₁₃ — миноры соответствующих элементов.

Пример разложения

Та же матрица:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \ 1 & 3 & 2 \ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$

Раскладываем по первой строке:

M₁₁ (вычёркиваем строку 1, столбец 1): $$M_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 = -6 - 2 = -8$$

M₁₂ (вычёркиваем строку 1, столбец 2): $$M_{12} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 0 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 0 = -2$$

M₁₃ (вычёркиваем строку 1, столбец 3): $$M_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 1$$

Подставляем: $$|A| = 2 \cdot (-8) - (-1) \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = -16 - 2 + 0 = -18$$

Получили −8? Проверка: −16 − 2 = −18. Ответ: −18.

Метод Гаусса для вычисления определителя

Метод Гаусса — самый универсальный алгоритм. Он приводит матрицу к верхнетреугольному виду (все элементы ниже главной диагонали равны нулю), а определитель равен произведению диагональных элементов.

Ключевое свойство: определитель не меняется при сложении строки с другой строкой, умноженной на число. При перестановке строк — меняет знак. При умножении строки на число — определитель умножается на это число.

Пример

Матрица:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 4 & 2 & 1 \ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$

Шаг 1. Обнуляем элемент a₂₁. Для этого из второй строки вычитаем первую, умноженную на 2:

$$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1: \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 0 & 0 & -5 \ 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}$$

Шаг 2. Обнуляем a₃₁. Вычитаем первую строку, умноженную на 0,5:

$$R_3 \rightarrow R_3 - 0{,}5R_1: \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 0 & 0 & -5 \ 0 & 4{,}5 & 1{,}5 \end{pmatrix}$$

Шаг 3. Переставляем вторую и третью строки местами — определитель меняет знак:

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 0 & 4{,}5 & 1{,}5 \ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}$$

Шаг 4. Обнуляем a₃₂. Из третьей строки вычитаем вторую, умноженную на нужный коэффициент. В данном случае уже ноль.

Результат: верхнетреугольная матрица.

Определитель: 2 · 4,5 · (−5) = −45 (с учётом смены знака при перестановке).

Свойства определителей, которые упрощают вычисления

1. Транспонирование не меняет определитель: det(A) = det(Aᵀ)
2. Перестановка двух строк меняет знак определителя
3. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов
4. Две одинаковые строки — определитель равен нулю
5. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число — определитель не меняется
6. det(A·B) = det(A) · det(B) — определитель произведения матриц

Краткая шпаргалка

Для матриц 4×4 и больше рекомендуется использовать метод Гаусса или разложение по строке/столбцу с выбором строки, содержащей максимум нулей — это сокращает вычисления.