Как найти описанную окружность: центр и радиус

Что такое описанная окружность и как её найти

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. Сам многоугольник в этом случае называют вписанным в окружность. Главное свойство: центр описанной окружности равноудалён от всех вершин фигуры.

Чтобы найти описанную окружность, нужно определить две вещи:

1. Центр — точку, из которой все вершины видны на одинаковом расстоянии.
2. Радиус — расстояние от центра до любой вершины.

Ниже разберём, как это сделать для разных фигур — от треугольника до правильного многоугольника.

Как найти описанную окружность треугольника

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Это фундаментальное свойство, которое используют в геометрии 8-9 классов и на ОГЭ.

Нахождение центра описанной окружности треугольника

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Пошаговый план:

1. Выберите любые две стороны треугольника.
2. Для каждой стороны постройте серединный перпендикуляр: найдите середину стороны и проведите через неё прямую, перпендикулярную этой стороне.
3. Точка пересечения двух серединных перпендикуляров — искомый центр.
4. Третий серединный перпендикуляр обязательно пройдёт через эту же точку.

Важный нюанс: расположение центра зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике центр находится внутри фигуры.
• В прямоугольном треугольнике центр совпадает с серединой гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.

Формула радиуса описанной окружности треугольника

Радиус описанной окружности треугольника можно найти несколькими способами. Выбор зависит от того, какие данные известны.

1. Через стороны и площадь (формула Герона):

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot S}$

где $a, b, c$ — длины сторон, $S$ — площадь треугольника.

Площадь предварительно находят по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

2. Через теорему синусов:

$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}$

где $A, B, C$ — углы, противолежащие сторонам $a, b, c$ соответственно.

3. Частные случаи:

• Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
• Для прямоугольного треугольника с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$: $R = \frac{c}{2}$.

Пример расчёта для треугольника

Условие: Дан треугольник со сторонами $a = 7$ см, $b = 8$ см, $c = 9$ см. Найдите радиус описанной окружности.

Решение:

1. Найдём полупериметр: $p = (7 + 8 + 9) / 2 = 12$.
2. Вычислим площадь по Герону: $S = \sqrt{12 \cdot (12-7) \cdot (12-8) \cdot (12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} \approx 26,83$ см².
3. Подставим в формулу: $R = (7 \cdot 8 \cdot 9) / (4 \cdot 26,83) = 504 / 107,32 \approx 4,70$ см.

Ответ: Радиус описанной окружности ≈ 4,70 см.

Как найти описанную окружность четырёхугольника

Не около каждого четырёхугольника можно описать окружность. Обязательное условие: сумма противоположных углов должна быть равна 180°.

Признак вписанного четырёхугольника

Если в четырёхугольнике $ABCD$ выполняется: $\angle A + \angle C = 180° \quad \text{и} \quad \angle B + \angle D = 180°$ то около него можно описать окружность.

Примеры фигур, около которых всегда можно описать окружность:

• Прямоугольник и квадрат (у них все углы по 90°, сумма противоположных — 180°).
• Равнобедренная трапеция.
• Любой четырёхугольник, удовлетворяющий условию выше.

Нахождение центра и радиуса для прямоугольника

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

• Центр — точка пересечения диагоналей.
• Радиус — половина диагонали: $R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Для квадрата со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Для произвольного вписанного четырёхугольника

Если четырёхугольник вписанный, радиус можно найти через теорему Птолемея (связь сторон и диагоналей) или через формулу, аналогичную треугольнику, разбив четырёхугольник диагональю на два треугольника.

Как найти описанную окружность правильного многоугольника

Правильный многоугольник — это фигура с равными сторонами и равными углами. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Формула радиуса

Для правильного $n$-угольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{2 \cdot \sin(\pi / n)}$

Примеры для популярных фигур:

Пример расчёта

Условие: Найдите радиус описанной окружности около правильного шестиугольника со стороной 10 см.

Решение: Для шестиугольника $n = 6$, $\sin(\pi/6) = \sin 30° = 0,5$. Подставляем: $R = 10 / (2 \cdot 0,5) = 10 / 1 = 10$ см.

Ответ: Радиус равен 10 см. Заметьте: для правильного шестиугольника радиус описанной окружности всегда равен стороне.

Практический алгоритм: как найти описанную окружность в любой задаче

1. Определите фигуру. Треугольник, четырёхугольник или правильный многоугольник?
2. Проверьте возможность. Для треугольника — всегда возможно. Для четырёхугольника — проверьте сумму противоположных углов (должна быть 180°). Для многоугольника — он должен быть правильным, иначе задача не имеет однозначного решения.
3. Найдите центр:
   • Для треугольника — постройте серединные перпендикуляры к двум сторонам.
   • Для прямоугольника/квадрата — пересечение диагоналей.
   • Для правильного многоугольника — центр совпадает с центром симметрии фигуры.
4. Вычислите радиус по одной из формул выше, используя известные данные.
5. Проверьте результат. Убедитесь, что все вершины находятся на одинаковом расстоянии от найденного центра.