Как найти описанную окружность: центр и радиус

Что такое описанная окружность и как её найти

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. Сам многоугольник в этом случае называют вписанным в окружность. Главное свойство: центр описанной окружности равноудалён от всех вершин фигуры.

Чтобы найти описанную окружность, нужно определить две вещи:

1. Центр — точку, из которой все вершины видны на одинаковом расстоянии.
2. Радиус — расстояние от центра до любой вершины.

Ниже разберём, как это сделать для разных фигур — от треугольника до правильного многоугольника.

Как найти описанную окружность треугольника

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Это фундаментальное свойство, которое используют в геометрии 8-9 классов и на ОГЭ.

Нахождение центра описанной окружности треугольника

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Пошаговый план:

1. Выберите любые две стороны треугольника.
2. Для каждой стороны постройте серединный перпендикуляр: найдите середину стороны и проведите через неё прямую, перпендикулярную этой стороне.
3. Точка пересечения двух серединных перпендикуляров — искомый центр.
4. Третий серединный перпендикуляр обязательно пройдёт через эту же точку.

Важный нюанс: расположение центра зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике центр находится внутри фигуры.
• В прямоугольном треугольнике центр совпадает с серединой гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.

Формула радиуса описанной окружности треугольника

Радиус описанной окружности треугольника можно найти несколькими способами. Выбор зависит от того, какие данные известны.

1. Через стороны и площадь (формула Герона):

$$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot S}$$

где $a, b, c$ — длины сторон, $S$ — площадь треугольника.

Площадь предварительно находят по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

2. Через теорему синусов:

$$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}$$

где $A, B, C$ — углы, противолежащие сторонам $a, b, c$ соответственно.

3. Частные случаи:

• Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
• Для прямоугольного треугольника с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$: $R = \frac{c}{2}$.

Пример расчёта для треугольника

Условие: Дан треугольник со сторонами $a = 7$ см, $b = 8$ см, $c = 9$ см. Найдите радиус описанной окружности.

Решение:

1. Найдём полупериметр: $p = (7 + 8 + 9) / 2 = 12$.
2. Вычислим площадь по Герону: $S = \sqrt{12 \cdot (12-7) \cdot (12-8) \cdot (12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} \approx 26,83$ см².
3. Подставим в формулу: $R = (7 \cdot 8 \cdot 9) / (4 \cdot 26,83) = 504 / 107,32 \approx 4,70$ см.

Ответ: Радиус описанной окружности ≈ 4,70 см.

Как найти описанную окружность четырёхугольника

Не около каждого четырёхугольника можно описать окружность. Обязательное условие: сумма противоположных углов должна быть равна 180°.

Признак вписанного четырёхугольника

Если в четырёхугольнике $ABCD$ выполняется:

$$\angle A + \angle C = 180° \quad \text{и} \quad \angle B + \angle D = 180°$$

то около него можно описать окружность.

Примеры фигур, около которых всегда можно описать окружность:

• Прямоугольник и квадрат (у них все углы по 90°, сумма противоположных — 180°).
• Равнобедренная трапеция.
• Любой четырёхугольник, удовлетворяющий условию выше.

Нахождение центра и радиуса для прямоугольника

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

• Центр — точка пересечения диагоналей.
• Радиус — половина диагонали: $R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Для квадрата со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Для произвольного вписанного четырёхугольника

Если четырёхугольник вписанный, радиус можно найти через теорему Птолемея (связь сторон и диагоналей) или через формулу, аналогичную треугольнику, разбив четырёхугольник диагональю на два треугольника.

Как найти описанную окружность правильного многоугольника

Правильный многоугольник — это фигура с равными сторонами и равными углами. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Формула радиуса

Для правильного $n$-угольника со стороной $a$:

$$R = \frac{a}{2 \cdot \sin(\pi / n)}$$

Примеры для популярных фигур:

Фигура	Количество сторон $n$	Формула радиуса $R$
Равносторонний треугольник	3	$R = a / \sqrt{3}$
Квадрат	4	$R = a / \sqrt{2}$
Правильный шестиугольник	6	$R = a$
Правильный восьмиугольник	8	$R = a / (2 \cdot \sin 22,5°)$

Пример расчёта

Условие: Найдите радиус описанной окружности около правильного шестиугольника со стороной 10 см.

Решение: Для шестиугольника $n = 6$, $\sin(\pi/6) = \sin 30° = 0,5$. Подставляем: $R = 10 / (2 \cdot 0,5) = 10 / 1 = 10$ см.

Ответ: Радиус равен 10 см. Заметьте: для правильного шестиугольника радиус описанной окружности всегда равен стороне.

Практический алгоритм: как найти описанную окружность в любой задаче

1. Определите фигуру. Треугольник, четырёхугольник или правильный многоугольник?
2. Проверьте возможность. Для треугольника — всегда возможно. Для четырёхугольника — проверьте сумму противоположных углов (должна быть 180°). Для многоугольника — он должен быть правильным, иначе задача не имеет однозначного решения.
3. Найдите центр:
   • Для треугольника — постройте серединные перпендикуляры к двум сторонам.
   • Для прямоугольника/квадрата — пересечение диагоналей.
   • Для правильного многоугольника — центр совпадает с центром симметрии фигуры.
4. Вычислите радиус по одной из формул выше, используя известные данные.
5. Проверьте результат. Убедитесь, что все вершины находятся на одинаковом расстоянии от найденного центра.

Часто задаваемые вопросы

Как найти центр описанной окружности треугольника?

Центр описанной окружности треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Для этого достаточно построить серединные перпендикуляры к любым двум сторонам — их пересечение будет центром. В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы, в тупоугольном — за пределами треугольника.

Как найти радиус описанной окружности, если известны стороны треугольника?

Самый универсальный способ — через площадь треугольника. Сначала найдите площадь по формуле Герона, затем радиус R = a·b·c / (4·S). Также можно использовать теорему синусов: R = a / (2·sin A), где a — сторона треугольника, а A — противолежащий ей угол.

Около любого ли четырехугольника можно описать окружность?

Нет, не около любого. Необходимое и достаточное условие — сумма противоположных углов должна быть равна 180°. Это выполняется для прямоугольника, квадрата и равнобедренной трапеции. Для обычного параллелограмма (не прямоугольника) описать окружность невозможно.

Чем отличается описанная окружность от вписанной?

Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника, а вписанная касается всех его сторон. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, а центр вписанной — на пересечении биссектрис. Радиус описанной окружности всегда больше или равен радиусу вписанной.

Как найти радиус описанной окружности около правильного многоугольника?

Для правильного многоугольника с n сторонами длины a радиус описанной окружности вычисляется по формуле: R = a / (2·sin(π/n)). Например, для квадрата (n=4) R = a / √2, для равностороннего треугольника (n=3) R = a / √3.

Как построить описанную окружность с помощью циркуля и линейки?

Для треугольника: постройте серединные перпендикуляры к двум сторонам, отметьте точку их пересечения — это центр. Установите иглу циркуля в эту точку, а грифель — в любую вершину, затем проведите окружность. Для четырехугольника сначала убедитесь, что сумма его противоположных углов равна 180°, затем действуйте аналогично.