Как найти описанную окружность: центр и радиус
Узнайте, как найти описанную окружность: определение, центр и радиус. Формулы для треугольника, четырехугольника и правильного многоугольника. Примеры расчёта.
Что такое описанная окружность и как её найти
Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. Сам многоугольник в этом случае называют вписанным в окружность. Главное свойство: центр описанной окружности равноудалён от всех вершин фигуры.
Чтобы найти описанную окружность, нужно определить две вещи:
- Центр — точку, из которой все вершины видны на одинаковом расстоянии.
- Радиус — расстояние от центра до любой вершины.
Ниже разберём, как это сделать для разных фигур — от треугольника до правильного многоугольника.
Как найти описанную окружность треугольника
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Это фундаментальное свойство, которое используют в геометрии 8-9 классов и на ОГЭ.
Нахождение центра описанной окружности треугольника
Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Пошаговый план:
- Выберите любые две стороны треугольника.
- Для каждой стороны постройте серединный перпендикуляр: найдите середину стороны и проведите через неё прямую, перпендикулярную этой стороне.
- Точка пересечения двух серединных перпендикуляров — искомый центр.
- Третий серединный перпендикуляр обязательно пройдёт через эту же точку.
Важный нюанс: расположение центра зависит от вида треугольника:
- В остроугольном треугольнике центр находится внутри фигуры.
- В прямоугольном треугольнике центр совпадает с серединой гипотенузы.
- В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.
Формула радиуса описанной окружности треугольника
Радиус описанной окружности треугольника можно найти несколькими способами. Выбор зависит от того, какие данные известны.
1. Через стороны и площадь (формула Герона):
$$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot S}$$
где (a, b, c) — длины сторон, (S) — площадь треугольника.
Площадь предварительно находят по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ где (p = \frac{a+b+c}{2}) — полупериметр.
2. Через теорему синусов:
$$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}$$
где (A, B, C) — углы, противолежащие сторонам (a, b, c) соответственно.
3. Частные случаи:
- Для равностороннего треугольника со стороной (a): (R = \frac{a}{\sqrt{3}}).
- Для прямоугольного треугольника с катетами (a, b) и гипотенузой (c): (R = \frac{c}{2}).
Пример расчёта для треугольника
Условие: Дан треугольник со сторонами (a = 7) см, (b = 8) см, (c = 9) см. Найдите радиус описанной окружности.
Решение:
- Найдём полупериметр: (p = (7 + 8 + 9) / 2 = 12).
- Вычислим площадь по Герону: (S = \sqrt{12 \cdot (12-7) \cdot (12-8) \cdot (12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} \approx 26,83) см².
- Подставим в формулу: (R = (7 \cdot 8 \cdot 9) / (4 \cdot 26,83) = 504 / 107,32 \approx 4,70) см.
Ответ: Радиус описанной окружности ≈ 4,70 см.
Как найти описанную окружность четырёхугольника
Не около каждого четырёхугольника можно описать окружность. Обязательное условие: сумма противоположных углов должна быть равна 180°.
Признак вписанного четырёхугольника
Если в четырёхугольнике (ABCD) выполняется: $$\angle A + \angle C = 180° \quad \text{и} \quad \angle B + \angle D = 180°$$ то около него можно описать окружность.
Примеры фигур, около которых всегда можно описать окружность:
- Прямоугольник и квадрат (у них все углы по 90°, сумма противоположных — 180°).
- Равнобедренная трапеция.
- Любой четырёхугольник, удовлетворяющий условию выше.
Нахождение центра и радиуса для прямоугольника
Для прямоугольника со сторонами (a) и (b):
- Центр — точка пересечения диагоналей.
- Радиус — половина диагонали: (R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}).
Для квадрата со стороной (a): (R = \frac{a}{\sqrt{2}}).
Для произвольного вписанного четырёхугольника
Если четырёхугольник вписанный, радиус можно найти через теорему Птолемея (связь сторон и диагоналей) или через формулу, аналогичную треугольнику, разбив четырёхугольник диагональю на два треугольника.
Как найти описанную окружность правильного многоугольника
Правильный многоугольник — это фигура с равными сторонами и равными углами. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.
Формула радиуса
Для правильного (n)-угольника со стороной (a): $$R = \frac{a}{2 \cdot \sin(\pi / n)}$$
Примеры для популярных фигур:
| Фигура | Количество сторон (n) | Формула радиуса (R) |
|---|---|---|
| Равносторонний треугольник | 3 | (R = a / \sqrt{3}) |
| Квадрат | 4 | (R = a / \sqrt{2}) |
| Правильный шестиугольник | 6 | (R = a) |
| Правильный восьмиугольник | 8 | (R = a / (2 \cdot \sin 22,5°)) |
Пример расчёта
Условие: Найдите радиус описанной окружности около правильного шестиугольника со стороной 10 см.
Решение: Для шестиугольника (n = 6), (\sin(\pi/6) = \sin 30° = 0,5). Подставляем: (R = 10 / (2 \cdot 0,5) = 10 / 1 = 10) см.
Ответ: Радиус равен 10 см. Заметьте: для правильного шестиугольника радиус описанной окружности всегда равен стороне.
Практический алгоритм: как найти описанную окружность в любой задаче
- Определите фигуру. Треугольник, четырёхугольник или правильный многоугольник?
- Проверьте возможность. Для треугольника — всегда возможно. Для четырёхугольника — проверьте сумму противоположных углов (должна быть 180°). Для многоугольника — он должен быть правильным, иначе задача не имеет однозначного решения.
- Найдите центр:
- Для треугольника — постройте серединные перпендикуляры к двум сторонам.
- Для прямоугольника/квадрата — пересечение диагоналей.
- Для правильного многоугольника — центр совпадает с центром симметрии фигуры.
- Вычислите радиус по одной из формул выше, используя известные данные.
- Проверьте результат. Убедитесь, что все вершины находятся на одинаковом расстоянии от найденного центра.