Найти корень суммы корней: как упростить √(a + √b)

Когда в алгебре встречается выражение вида √(a + √b), многие пытаются найти простую формулу, позволяющую «раскрыть» такой корень — представить его в виде суммы двух квадратных корней. Задача действительно имеет решение, но не для всех чисел. В этой статье разберём, как упростить корень из суммы корней, когда это возможно, и как действовать в общем случае.

Основная идея: выделение полного квадрата

Ключевой приём — представить подкоренное выражение как квадрат двучлена:

$a + \sqrt{b} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}.$

Отсюда получаем систему:

Числа $x$ и $y$ — корни квадратного уравнения

$t^2 - a t + \frac{b}{4} = 0.$

Дискриминант этого уравнения:

$D = a^2 - b.$

Условие упрощения: если $D$ — полный квадрат (то есть $a^2 - b = k^2$ для целого или рационального $k$), то $x$ и $y$ можно найти по формулам:

$x = \frac{a + k}{2}, \quad y = \frac{a - k}{2},$

и тогда

$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}.$

Если же $D$ не является полным квадратом, выражение не упрощается до суммы рациональных квадратных корней.

Пошаговый алгоритм

1. Проверьте, является ли $a^2 - b$ полным квадратом.
2. Если да, найдите $k = \sqrt{a^2 - b}$.
3. Вычислите $x = \frac{a + k}{2}$ и $y = \frac{a - k}{2}$.
4. Запишите ответ: $\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}$ (если все числа положительны).

Примечание: если под корнем стоит разность ($\sqrt{a - \sqrt{b}}$), то формула принимает вид $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ при условии $x > y$.

Примеры

Пример 1. Упростить $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$

Здесь $a = 5$, $b = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$.
$a^2 - b = 25 - 24 = 1$ — полный квадрат.
$k = 1$.
$x = \frac{5 + 1}{2} = 3$, $y = \frac{5 - 1}{2} = 2$.
Ответ: $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.

Пример 2. Упростить $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

$a = 7$, $b = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.
$a^2 - b = 49 - 48 = 1$.
$k = 1$, $x = 4$, $y = 3$.
Ответ: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$.

Пример 3. $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$

$a = 3$, $b = 5$.
$a^2 - b = 9 - 5 = 4$ — полный квадрат.
$k = 2$, $x = \frac{3 + 2}{2} = 2.5$, $y = \frac{3 - 2}{2} = 0.5$.
Ответ: $\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{2.5} + \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$ (после приведения к общему знаменателю).

Пример 4. $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

$a = 2$, $b = 3$.
$a^2 - b = 4 - 3 = 1$ — полный квадрат.
$k = 1$, $x = 1.5$, $y = 0.5$.
Ответ: $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{1.5} + \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$.

Когда упрощение невозможно

Если $a^2 - b$ не является полным квадратом, выражение $\sqrt{a + \sqrt{b}}$ оставляют в исходном виде. Например, $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ — дискриминант $4 - 2 = 2$ не является квадратом рационального числа, поэтому упрощение невозможно.

Распространённые ошибки

• Путают с теоремой Виета. Сумма корней квадратного уравнения ($x_1 + x_2 = -b/a$) — это совсем другая операция, не связанная с упрощением иррациональных выражений.
• Применяют $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Это неверно, корень нелинеен.
• Пытаются упростить, не проверив дискриминант. Условие полного квадрата обязательно.

Что делать, если под корнем несколько корней?

Например, $\sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$. В этом случае можно попробовать возвести выражение в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня: $(\sqrt{\sqrt{a} + \sqrt{b}})^2 = \sqrt{a} + \sqrt{b}$. Дальнейшее упрощение зависит от конкретных чисел.

Заключение

Упрощение корня из суммы корней — полезный навык, который часто встречается в олимпиадных задачах и при работе с иррациональными числами. Главное — запомнить условие и алгоритм выделения полного квадрата. Если дискриминант не является полным квадратом, не пытайтесь «вытянуть» сумму — оставьте выражение в исходном виде. Для тренировки попробуйте решить несколько примеров, а наш онлайн-калькулятор поможет проверить результат.