Длина вписанной окружности треугольника

Что такое вписанная окружность треугольника

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника изнутри. Её центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Радиус этой окружности обычно обозначают буквой r.

Знать длину вписанной окружности бывает полезно при решении геометрических задач, в строительстве, дизайне или просто для понимания свойств фигур. Сама длина вычисляется по стандартной формуле длины окружности, если известен её радиус.

Основная формула

Длина любой окружности равна:

$C = 2\pi r$

где $r$ — радиус окружности, $\pi \approx 3{,}14159$.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса вписанной окружности треугольника.

Как найти радиус вписанной окружности треугольника

Для произвольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется через площадь треугольника $S$ и его полупериметр $p$:

$r = \frac{S}{p}$

где:

• $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр,
• $S$ — площадь треугольника (можно найти по формуле Герона или через основание и высоту).

После нахождения $r$ подставляем его в формулу длины окружности.

Примеры расчёта

Пример 1. Произвольный треугольник

Дан треугольник со сторонами $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$.

1. Полупериметр:
   $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.

2. Площадь по формуле Герона:
   $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.

3. Радиус вписанной окружности:
   $r = \frac{84}{21} = 4$.

4. Длина вписанной окружности:
   $C = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25{,}13$.

Пример 2. Равносторонний треугольник

Пусть сторона равностороннего треугольника $a = 6$.

• Радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника:
  $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \approx 1{,}732$.

• Длина окружности:
  $C = 2\pi \cdot \sqrt{3} \approx 2 \cdot 3{,}1416 \cdot 1{,}732 \approx 10{,}88$.

Можно также использовать готовую формулу:
$C = \frac{\pi a \sqrt{3}}{3} = \frac{3{,}1416 \cdot 6 \cdot 1{,}732}{3} \approx 10{,}88$.

Пример 3. Прямоугольный треугольник

Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.

1. Гипотенуза: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
2. Полупериметр: $p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$.
3. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.
4. Радиус вписанной окружности: $r = \frac{6}{6} = 1$.
5. Длина окружности: $C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi \approx 6{,}28$.

Частные случаи

Для некоторых треугольников можно вывести компактные формулы длины вписанной окружности:

• Равносторонний треугольник со стороной $a$:
  $C = \frac{\pi a \sqrt{3}}{3}$.

• Прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$:
  $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $c$ — гипотенуза. Тогда $C = \pi (a + b - c)$.

• Равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковой стороной $b$: радиус можно найти через площадь, которую удобно вычислить по высоте.

Заключение

Чтобы найти длину вписанной окружности треугольника, достаточно знать его радиус. Универсальный способ — вычислить радиус через площадь и полупериметр. Формула $C = 2\pi r$ работает для любого треугольника, будь то произвольный, равносторонний или прямоугольный. Используйте приведённые примеры для проверки своих расчётов.