Найти AC треугольника: формулы и примеры расчёта

Как найти AC в треугольнике

Обновлено 31 июля 2026 г.

Разбор всех способов найти сторону AC: теорема Пифагора, косинусов и синусов, тригонометрия прямоугольного треугольника — с формулами и примерами расчёта.

Прямоугольный треугольник (∠C = 90°): основные случаи

В большинстве задач ОГЭ и ЕГЭ фигурирует прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. В этом случае:

AC и BC — катеты
AB — гипотенуза (лежит напротив прямого угла)

Теорема Пифагора

Если известны гипотенуза AB и катет BC:

$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$

Пример: AB = 13, BC = 5 → AC = √(169 − 25) = √144 = 12

Через тригонометрические функции

Ключевые соотношения для ∠C = 90°:

Угол	sin	cos
∠A	BC / AB	AC / AB
∠B	AC / AB	BC / AB

Из этой таблицы напрямую получаются рабочие формулы:

Что дано	Формула для AC
AB и cos∠A	AC = AB · cos∠A
AB и sin∠B	AC = AB · sin∠B
BC и tan∠B	AC = BC · tan∠B
BC и tan∠A	AC = BC / tan∠A

Пример 1: AB = 5, sin∠A = 7/25. Найти AC.

sin∠A = 7/25 → cos∠A = √(1 − (7/25)²) = √(576/625) = 24/25
(используем пифагорову тройку: 7, 24, 25)
AC = AB · cos∠A = 5 · 24/25 = 4,8

Пример 2: AB = 21, sin∠B = 3/7. Найти AC.

AC = AB · sin∠B = 21 · 3/7 = 9

Произвольный треугольник: теорема косинусов

Если треугольник не прямоугольный, применяйте теорему косинусов. Чтобы найти AC, нужно знать AB, BC и угол ∠B между ними:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\angle B}$

Пример: AB = 8, BC = 6, ∠B = 60°.

$AC = \sqrt{64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 0{,}5} = \sqrt{100 - 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21$

Если угол тупой (например, ∠B = 120°), косинус отрицательный — выражение под корнем будет больше AB² + BC². Это нормально.

Теорема синусов

Когда известны два угла и одна сторона, используйте теорему синусов:

$\frac{AC}{\sin\angle B} = \frac{AB}{\sin\angle C} = \frac{BC}{\sin\angle A}$

Отсюда:

$AC = \frac{AB \cdot \sin\angle B}{\sin\angle C}$

Пример: AB = 10, ∠B = 45°, ∠C = 60°.

$AC = \frac{10 \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \frac{10 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8{,}16$

Выбор метода: сводная таблица

Что известно	Метод	Формула
AB, BC, ∠C = 90°	Теорема Пифагора	AC = √(AB² − BC²)
AB, sin∠B (или cos∠A), ∠C = 90°	Тригонометрия	AC = AB · sin∠B
AB, BC, ∠B	Теорема косинусов	AC = √(AB² + BC² − 2·AB·BC·cos∠B)
AB, ∠B, ∠C	Теорема синусов	AC = AB · sin∠B / sin∠C

Типичные ошибки

1. Перепутать катет и гипотенузу.
В треугольнике ABC с ∠C = 90° гипотенуза — всегда AB. Если начать по ошибке вычитать из AC², задача даст мнимый корень или неверный ответ.

2. Неверно применить sin и cos угла.
sin∠A = BC/AB (противолежащий катет), cos∠A = AC/AB (прилежащий катет). Для угла B — наоборот. Перепутав, получите BC вместо AC.

3. Применить теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику.
Пифагор работает строго при наличии прямого угла. Для общего случая — только теорема косинусов.

4. Не вычислить cos из sin.
Если дан sin∠A, а нужен cos∠A, используйте основное тригонометрическое тождество:
cos∠A = √(1 − sin²∠A) — для острого угла.

Часто задаваемые вопросы

Как найти AC, если угол C = 90° и известна только гипотенуза AB?

Одной гипотенузы недостаточно — нужен ещё один параметр: второй катет BC, один из острых углов или значение тригонометрической функции. Без дополнительных данных длина AC однозначно не определяется.

Что такое AC в прямоугольном треугольнике — катет или гипотенуза?

Если прямой угол стоит в вершине C (∠C = 90°), то AC — катет, а гипотенузой является сторона AB, лежащая напротив прямого угла. Путаница здесь — самая распространённая ошибка в задачах.

Можно ли найти AC, зная только два угла и не зная ни одной стороны?

Нет. Углы определяют форму треугольника, но не его размер. Все подобные треугольники имеют одинаковые углы при разных длинах сторон. Для нахождения AC обязательно нужна хотя бы одна сторона.

Как найти AC, если известен угол при вершине A, а не при B?

Используйте теорему косинусов в форме BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos∠A. Это уравнение относительно AC. Если известны AB, BC и ∠A, формулу можно решить как квадратное уравнение относительно AC.

Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?

Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов при ∠B = 90°. Когда угол прямой, cos 90° = 0, и последнее слагаемое обнуляется: AC² = AB² + BC². При любом другом угле необходима полная формула с косинусом.

Как найти AC, если sin∠A = 7/25 и AB = 5?

В прямоугольном треугольнике (∠C = 90°) из sin∠A = 7/25 следует cos∠A = 24/25 (так как 7² + 24² = 25²). Тогда AC = AB · cos∠A = 5 · 24/25 = 4,8.

Как найти AC в равностороннем треугольнике?

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому AC = AB = BC. Если известна любая другая сторона или высота h, то AC = 2h / √3.

Похожие калькуляторы и статьи