Как найти AC в треугольнике
Разбор всех способов найти сторону AC: теорема Пифагора, косинусов и синусов, тригонометрия прямоугольного треугольника — с формулами и примерами расчёта.
Прямоугольный треугольник (∠C = 90°): основные случаи
В большинстве задач ОГЭ и ЕГЭ фигурирует прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. В этом случае:
- AC и BC — катеты
- AB — гипотенуза (лежит напротив прямого угла)
Теорема Пифагора
Если известны гипотенуза AB и катет BC:
$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}$$
Пример: AB = 13, BC = 5 → AC = √(169 − 25) = √144 = 12
Через тригонометрические функции
Ключевые соотношения для ∠C = 90°:
| Угол | sin | cos |
|---|---|---|
| ∠A | BC / AB | AC / AB |
| ∠B | AC / AB | BC / AB |
Из этой таблицы напрямую получаются рабочие формулы:
| Что дано | Формула для AC |
|---|---|
| AB и cos∠A | AC = AB · cos∠A |
| AB и sin∠B | AC = AB · sin∠B |
| BC и tan∠B | AC = BC · tan∠B |
| BC и tan∠A | AC = BC / tan∠A |
Пример 1: AB = 5, sin∠A = 7/25. Найти AC.
- sin∠A = 7/25 → cos∠A = √(1 − (7/25)²) = √(576/625) = 24/25
(используем пифагорову тройку: 7, 24, 25) - AC = AB · cos∠A = 5 · 24/25 = 4,8
Пример 2: AB = 21, sin∠B = 3/7. Найти AC.
AC = AB · sin∠B = 21 · 3/7 = 9
Произвольный треугольник: теорема косинусов
Если треугольник не прямоугольный, применяйте теорему косинусов. Чтобы найти AC, нужно знать AB, BC и угол ∠B между ними:
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\angle B}$$
Пример: AB = 8, BC = 6, ∠B = 60°.
$$AC = \sqrt{64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 0{,}5} = \sqrt{100 - 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21$$
Если угол тупой (например, ∠B = 120°), косинус отрицательный — выражение под корнем будет больше AB² + BC². Это нормально.
Теорема синусов
Когда известны два угла и одна сторона, используйте теорему синусов:
$$\frac{AC}{\sin\angle B} = \frac{AB}{\sin\angle C} = \frac{BC}{\sin\angle A}$$
Отсюда:
$$AC = \frac{AB \cdot \sin\angle B}{\sin\angle C}$$
Пример: AB = 10, ∠B = 45°, ∠C = 60°.
$$AC = \frac{10 \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \frac{10 \cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3} \approx 8{,}16$$
Выбор метода: сводная таблица
| Что известно | Метод | Формула |
|---|---|---|
| AB, BC, ∠C = 90° | Теорема Пифагора | AC = √(AB² − BC²) |
| AB, sin∠B (или cos∠A), ∠C = 90° | Тригонометрия | AC = AB · sin∠B |
| AB, BC, ∠B | Теорема косинусов | AC = √(AB² + BC² − 2·AB·BC·cos∠B) |
| AB, ∠B, ∠C | Теорема синусов | AC = AB · sin∠B / sin∠C |
Типичные ошибки
1. Перепутать катет и гипотенузу.
В треугольнике ABC с ∠C = 90° гипотенуза — всегда AB. Если начать по ошибке вычитать из AC², задача даст мнимый корень или неверный ответ.
2. Неверно применить sin и cos угла.
sin∠A = BC/AB (противолежащий катет), cos∠A = AC/AB (прилежащий катет). Для угла B — наоборот. Перепутав, получите BC вместо AC.
3. Применить теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику.
Пифагор работает строго при наличии прямого угла. Для общего случая — только теорема косинусов.
4. Не вычислить cos из sin.
Если дан sin∠A, а нужен cos∠A, используйте основное тригонометрическое тождество:
cos∠A = √(1 − sin²∠A) — для острого угла.