Найдите стороны параллелограмма ABCD

Чтобы найти стороны параллелограмма ABCD, нужно знать исходные данные. Чаще всего даны периметр и соотношение сторон, длины диагоналей с углом между ними или координаты вершин. Ниже – все основные рабочие формулы с примерами.

Как найти стороны, если известен периметр и одна сторона?

У параллелограмма противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD. Если обозначить соседние стороны через a и b, периметр P выражается формулой:

P = 2(a + b)

Отсюда, зная одну сторону (например, a), находим вторую:

b = P / 2 – a

Пример. Периметр параллелограмма ABCD равен 28 см, сторона AB = 5 см. Тогда BC = AD = 28 / 2 – 5 = 14 – 5 = 9 см. Ответ: AB = CD = 5 см, BC = AD = 9 см.

Если дано соотношение (например, AB : BC = 2 : 3), то вводим коэффициент пропорциональности k: a = 2k, b = 3k. Периметр P = 2(2k + 3k) = 10k. Находим k = P / 10, затем стороны.

Поиск сторон по диагоналям и углу между ними

Диагонали d₁ и d₂ пересекаются под углом φ (обычно острый угол между ними). Стороны выражаются через теорему косинусов для треугольника, образованного половинами диагоналей:

• AB = CD = √[(d₁² + d₂² – 2·d₁·d₂·cos φ) / 2]
• BC = AD = √[(d₁² + d₂² + 2·d₁·d₂·cos φ) / 2]

Пример. Диагонали параллелограмма равны 10 см и 8 см, угол между ними 60°. cos 60° = 0,5. Тогда:

AB = √[(10² + 8² – 2·10·8·0,5) / 2] = √[(100 + 64 – 80) / 2] = √[84 / 2] = √42 ≈ 6,48 см.
BC = √[(100 + 64 + 80) / 2] = √[244 / 2] = √122 ≈ 11,05 см.

Нахождение сторон по координатам вершин

Если вершины заданы на плоскости: A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), D(x₄,y₄), то длины сторон вычисляются как расстояния между точками. Для параллелограмма важно, что AB = CD и BC = AD.

Формула:

AB = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
BC = √((x₃ – x₂)² + (y₃ – y₂)²)

Пример. Дан параллелограмм ABCD с координатами: A(1, 2), B(5, 5), C(9, 5), D(5, 2).
AB = √((5 – 1)² + (5 – 2)²) = √(16 + 9) = √25 = 5.
BC = √((9 – 5)² + (5 – 5)²) = √(16 + 0) = 4.
Ответ: AB = CD = 5, BC = AD = 4.

Онлайн-калькулятор сторон параллелограмма

Калькулятор выше позволяет вычислить стороны по трём наборам данных: «периметр и соотношение», «диагонали и угол между ними» или «координаты вершин». Выберите нужный режим, введите свои значения – расчёт выполнится автоматически. Используйте точку как десятичный разделитель.

Частые ошибки и практические советы

• При заданном периметре и одной стороне проверяйте, что оставшаяся часть периметра делится на 2 без остатка.
• Угол φ между диагоналями всегда меньше 180°. Если диагонали пересекаются под тупым углом, косинус будет отрицательным, что учтено в формулах.
• При координатном способе убедитесь, что фигура действительно параллелограмм: суммы координат противоположных вершин должны совпадать (x₁ + x₃ = x₂ + x₄, y₁ + y₃ = y₂ + y₄). Иначе вычисленные длины могут не соответствовать параллелограмму.
• Если известны площадь S и высота hₐ, сторону a находите как a = S / hₐ. Для второй стороны потребуется другая высота.