Найдите скорость велосипедиста: формула и пример

Основная формула скорости

Если известны пройденное расстояние и время движения, скорость велосипедиста находят по формуле:

$v = \frac{S}{t}$

где:

• $v$ — скорость;
• $S$ — расстояние;
• $t$ — время.

При расстоянии в километрах и времени в часах результат получится в километрах в час — км/ч. Например, велосипедист проехал 45 км за 3 часа:

$v = \frac{45}{3} = 15\ \text{км/ч}$

Если нужно найти скорость в метрах в секунду, расстояние переводят в метры, а время — в секунды:

$1\ \text{км/ч} = \frac{5}{18}\ \text{м/с}$

Как решить задачу на движение

Используйте такой порядок:

1. Выпишите расстояние и время.
2. Приведите величины к одинаковым единицам.
3. Обозначьте неизвестную скорость буквой, например $x$.
4. Выразите время или расстояние через формулу $S = vt$.
5. Составьте уравнение по условию.
6. Решите его и проверьте, подходит ли ответ по смыслу.

В задачах с несколькими участками пути удобно составить таблицу:

Пример: расстояние и время

Велосипедист проехал 48 км за 3 часа 12 минут. Найдём его скорость.

Сначала переведём время в часы:

$3\ \text{ч}\ 12\ \text{мин} = 3 + \frac{12}{60} = 3{,}2\ \text{ч}$

Теперь подставим данные:

$v = \frac{48}{3{,}2} = 15\ \text{км/ч}$

Ответ: 15 км/ч.

Если известны разность скоростей и времени

Распространённый тип задачи: велосипедист и автомобилист проходят одно и то же расстояние, но автомобилист движется на $a$ км/ч быстрее и прибывает на $\Delta t$ часов раньше.

Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость автомобилиста — $x+a$ км/ч. Время в пути:

По условию:

$\frac{S}{x} - \frac{S}{x+a} = \Delta t$

После преобразования получается квадратное уравнение:

$x^2 + ax - \frac{Sa}{\Delta t}=0$

Положительный корень можно найти сразу:

$x=\frac{-a+\sqrt{a^2+\frac{4Sa}{\Delta t}}}{2}$

Пример

Расстояние между пунктами равно 75 км. Автомобиль движется на 40 км/ч быстрее велосипедиста и прибывает на 6 часов раньше.

Здесь:

$S=75,\qquad a=40,\qquad \Delta t=6$

$x=\frac{-40+\sqrt{40^2+\frac{4\cdot75\cdot40}{6}}}{2}$

Ответ: скорость велосипедиста — 50 км/ч.

Пример с обратной дорогой и остановкой

Велосипедист проехал из пункта А в пункт Б расстояние 60 км с постоянной скоростью. На обратном пути он увеличил скорость на 10 км/ч и сделал остановку на 3 часа. Общее время обратного пути оказалось таким же, как время движения из А в Б. Найдём первоначальную скорость.

Пусть скорость на первом участке равна $x$ км/ч. Тогда:

• время пути из А в Б: $\frac{60}{x}$;
• скорость на обратном пути: $x+10$;
• время движения обратно: $\frac{60}{x+10}$;
• время остановки: 3 часа.

Составим уравнение:

$\frac{60}{x}=\frac{60}{x+10}+3$

Перенесём дроби в левую часть:

$\frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{600}{x(x+10)}=3$

$x(x+10)=200$

$x^2+10x-200=0$

Корни уравнения:

$x=10 \quad \text{и} \quad x=-20$

Отрицательное значение скорости не подходит. Поэтому:

Ответ: 10 км/ч.

Если время одного участника в несколько раз больше

Пусть скорость пешехода равна $u$, а велосипедист движется на $a$ км/ч быстрее:

$v_{\text{вел}}=u+a$

Если пешеход затратил на тот же путь в $k$ раз больше времени, то его скорость в $k$ раз меньше скорости велосипедиста:

$v_{\text{вел}}=ku$

Следовательно:

$ku=u+a$

$u=\frac{a}{k-1}$

Скорость велосипедиста:

$v_{\text{вел}}=\frac{ka}{k-1}$

Пример

Скорость велосипедиста на 6 км/ч больше скорости пешехода. Пешеход затратил на путь в 2,5 раза больше времени.

Ответ: 10 км/ч.

Средняя скорость велосипедиста

Если велосипедист двигался с разными скоростями, среднюю скорость находят так:

$v*{\text{ср}}=\frac{S*{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$

Для двух участков:

Например, если половину расстояния велосипедист проехал со скоростью 12 км/ч, а вторую половину — со скоростью 18 км/ч, средняя скорость равна:

Она не равна 15 км/ч — простому среднему арифметическому скоростей.

Частые ошибки

• Не переводят минуты в часы. Например, 30 минут — это 0,5 часа, а не 30 часов.
• Путают скорость и время. При одинаковом расстоянии более высокая скорость означает меньшее время в пути.
• Забывают остановки. Если требуется общее время поездки, остановку нужно прибавить.
• Берут оба корня квадратного уравнения. Скорость не может быть отрицательной.
• Используют среднее арифметическое. Для разных участков применяют отношение общего расстояния к общему времени.
• Складывают скорости вместо времени. Для одного маршрута время рассчитывают как $t=S/v$.

Чтобы проверить результат, умножьте найденную скорость на соответствующее время. Если получится заданное расстояние, а все величины имеют согласованные единицы, решение, скорее всего, выполнено правильно.