Найдите скорость велосипедиста: формула и пример
Разберите, как вычислить скорость велосипедиста по расстоянию и времени: формулы, перевод единиц, пошаговые примеры и задачи на движение.
Основная формула скорости
Если известны пройденное расстояние и время движения, скорость велосипедиста находят по формуле:
[ v = \frac{S}{t} ]
где:
- (v) — скорость;
- (S) — расстояние;
- (t) — время.
При расстоянии в километрах и времени в часах результат получится в километрах в час — км/ч. Например, велосипедист проехал 45 км за 3 часа:
[ v = \frac{45}{3} = 15\ \text{км/ч} ]
Если нужно найти скорость в метрах в секунду, расстояние переводят в метры, а время — в секунды:
[ 1\ \text{км/ч} = \frac{5}{18}\ \text{м/с} ]
Как решить задачу на движение
Используйте такой порядок:
- Выпишите расстояние и время.
- Приведите величины к одинаковым единицам.
- Обозначьте неизвестную скорость буквой, например (x).
- Выразите время или расстояние через формулу (S = vt).
- Составьте уравнение по условию.
- Решите его и проверьте, подходит ли ответ по смыслу.
В задачах с несколькими участками пути удобно составить таблицу:
| Участок | Скорость | Время | Расстояние |
|---|---|---|---|
| Первый | (v_1) | (t_1) | (S_1=v_1t_1) |
| Второй | (v_2) | (t_2) | (S_2=v_2t_2) |
Пример: расстояние и время
Велосипедист проехал 48 км за 3 часа 12 минут. Найдём его скорость.
Сначала переведём время в часы:
[ 3\ \text{ч}\ 12\ \text{мин} = 3 + \frac{12}{60} = 3{,}2\ \text{ч} ]
Теперь подставим данные:
[ v = \frac{48}{3{,}2} = 15\ \text{км/ч} ]
Ответ: 15 км/ч.
Если известны разность скоростей и времени
Распространённый тип задачи: велосипедист и автомобилист проходят одно и то же расстояние, но автомобилист движется на (a) км/ч быстрее и прибывает на (\Delta t) часов раньше.
Пусть скорость велосипедиста равна (x) км/ч. Тогда скорость автомобилиста — (x+a) км/ч. Время в пути:
[ t*{\text{вел}}=\frac{S}{x}, \qquad t*{\text{авто}}=\frac{S}{x+a} ]
По условию:
[ \frac{S}{x} - \frac{S}{x+a} = \Delta t ]
После преобразования получается квадратное уравнение:
[ x^2 + ax - \frac{Sa}{\Delta t}=0 ]
Положительный корень можно найти сразу:
[ x=\frac{-a+\sqrt{a^2+\frac{4Sa}{\Delta t}}}{2} ]
Пример
Расстояние между пунктами равно 75 км. Автомобиль движется на 40 км/ч быстрее велосипедиста и прибывает на 6 часов раньше.
Здесь:
[ S=75,\qquad a=40,\qquad \Delta t=6 ]
[ x=\frac{-40+\sqrt{40^2+\frac{4\cdot75\cdot40}{6}}}{2} ]
[ x=\frac{-40+\sqrt{19600}}{2} =\frac{-40+140}{2}=50\ \text{км/ч} ]
Ответ: скорость велосипедиста — 50 км/ч.
Пример с обратной дорогой и остановкой
Велосипедист проехал из пункта А в пункт Б расстояние 60 км с постоянной скоростью. На обратном пути он увеличил скорость на 10 км/ч и сделал остановку на 3 часа. Общее время обратного пути оказалось таким же, как время движения из А в Б. Найдём первоначальную скорость.
Пусть скорость на первом участке равна (x) км/ч. Тогда:
- время пути из А в Б: (\frac{60}{x});
- скорость на обратном пути: (x+10);
- время движения обратно: (\frac{60}{x+10});
- время остановки: 3 часа.
Составим уравнение:
[ \frac{60}{x}=\frac{60}{x+10}+3 ]
Перенесём дроби в левую часть:
[ \frac{60}{x}-\frac{60}{x+10}=3 ]
Приведём к общему знаменателю:
[ \frac{600}{x(x+10)}=3 ]
[ x(x+10)=200 ]
[ x^2+10x-200=0 ]
Корни уравнения:
[ x=10 \quad \text{и} \quad x=-20 ]
Отрицательное значение скорости не подходит. Поэтому:
Ответ: 10 км/ч.
Если время одного участника в несколько раз больше
Пусть скорость пешехода равна (u), а велосипедист движется на (a) км/ч быстрее:
[ v_{\text{вел}}=u+a ]
Если пешеход затратил на тот же путь в (k) раз больше времени, то его скорость в (k) раз меньше скорости велосипедиста:
[ v_{\text{вел}}=ku ]
Следовательно:
[ ku=u+a ]
[ u=\frac{a}{k-1} ]
Скорость велосипедиста:
[ v_{\text{вел}}=\frac{ka}{k-1} ]
Пример
Скорость велосипедиста на 6 км/ч больше скорости пешехода. Пешеход затратил на путь в 2,5 раза больше времени.
[ v_{\text{вел}}=\frac{2{,}5\cdot6}{2{,}5-1} =\frac{15}{1{,}5}=10\ \text{км/ч} ]
Ответ: 10 км/ч.
Средняя скорость велосипедиста
Если велосипедист двигался с разными скоростями, среднюю скорость находят так:
[ v*{\text{ср}}=\frac{S*{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} ]
Для двух участков:
[ v_{\text{ср}}= \frac{S_1+S_2}{t_1+t_2}
\frac{S_1+S_2}{\frac{S_1}{v_1}+\frac{S_2}{v_2}} ]
Например, если половину расстояния велосипедист проехал со скоростью 12 км/ч, а вторую половину — со скоростью 18 км/ч, средняя скорость равна:
[ v_{\text{ср}}= \frac{2\cdot12\cdot18}{12+18} =14{,}4\ \text{км/ч} ]
Она не равна 15 км/ч — простому среднему арифметическому скоростей.
Частые ошибки
- Не переводят минуты в часы. Например, 30 минут — это 0,5 часа, а не 30 часов.
- Путают скорость и время. При одинаковом расстоянии более высокая скорость означает меньшее время в пути.
- Забывают остановки. Если требуется общее время поездки, остановку нужно прибавить.
- Берут оба корня квадратного уравнения. Скорость не может быть отрицательной.
- Используют среднее арифметическое. Для разных участков применяют отношение общего расстояния к общему времени.
- Складывают скорости вместо времени. Для одного маршрута время рассчитывают как (t=S/v).
Чтобы проверить результат, умножьте найденную скорость на соответствующее время. Если получится заданное расстояние, а все величины имеют согласованные единицы, решение, скорее всего, выполнено правильно.