Найдите скорость лодки: решение задач

Основные формулы движения по реке

В задачах «найдите скорость лодки» обычно подразумевается собственная скорость лодки — её скорость в неподвижной воде. Зависимость между величинами описывается двумя простыми формулами:

• Скорость по течению = собственная скорость + скорость течения
• Скорость против течения = собственная скорость − скорость течения

Отсюда легко выразить собственную скорость, если известны скорости в двух направлениях:

v*собств = (v*по теч + v_против теч) / 2

Например, если лодка плывёт по течению со скоростью 18 км/ч, а против — 14 км/ч, то собственная скорость равна (18+14)/2 = 16 км/ч.

Тип 1. Даны скорости по течению и против течения

Это самый простой случай — достаточно применить формулу выше. Задача может выглядеть так:

«Скорость моторной лодки по течению реки равна 22 км/ч, а против течения — 16 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.»

Решение:

1. Собственная скорость: (22 + 16) / 2 = 19 км/ч.
2. Скорость течения: (22 − 16) / 2 = 3 км/ч.

Ответ: 19 км/ч, 3 км/ч.

Тип 2. Даны расстояние и время (с разницей или общим временем)

Это более распространённый тип задач на ЕГЭ и ОГЭ. Условие формулируется так:

«Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч.»

Решение:

1. Обозначим собственную скорость лодки за $x$ км/ч.
2. Скорость против течения: $x - 1$ км/ч, по течению: $x + 1$ км/ч.
3. Время против течения: $\frac{255}{x-1}$ ч, время по течению: $\frac{255}{x+1}$ ч.
4. Разница во времени составляет 2 часа (против течения дольше): $\frac{255}{x-1} - \frac{255}{x+1} = 2$
5. Приводим к общему знаменателю и упрощаем: $255(x+1) - 255(x-1) = 2(x-1)(x+1)$ $255x + 255 - 255x + 255 = 2(x^2 - 1)$ $510 = 2x^2 - 2$ $2x^2 = 512 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 256 \quad \Rightarrow \quad x = 16$
6. Отрицательный корень (-16) отбрасываем.

Ответ: 16 км/ч.

Аналогично решается задача, если дано общее время в пути:

«Лодка прошла 36 км по течению и 36 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.»

Решение:

1. Пусть собственная скорость $x$ км/ч.
2. Время по течению: $\frac{36}{x+3}$ ч, против течения: $\frac{36}{x-3}$ ч.
3. Сумма времён равна 5: $\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5$
4. Умножаем на $(x+3)(x-3)$: $36(x-3) + 36(x+3) = 5(x^2 - 9)$ $36x - 108 + 36x + 108 = 5x^2 - 45$ $72x = 5x^2 - 45$ $5x^2 - 72x - 45 = 0$
5. Решаем квадратное уравнение: дискриминант $D = 72^2 + 4·5·45 = 5184 + 900 = 6084$, $\sqrt{D} = 78$. $x = \frac{72 \pm 78}{10}$ Положительный корень: $x = \frac{72+78}{10} = 15$.
6. Отрицательный корень (−0,6) отбрасываем.

Ответ: 15 км/ч.

Частые ошибки

• Путают «против течения» и «по течению»: всегда проверяйте, какое время меньше. Если лодка возвращается быстрее — значит, обратный путь идёт по течению.
• Забывают, что скорость лодки не может быть меньше скорости течения: иначе лодка не сможет двигаться против течения (знаменатель станет отрицательным или нулевым).
• Неправильно составляют уравнение: внимательно читайте условие — разница во времени или сумма времён?

Как проверить ответ

Подставьте найденную собственную скорость обратно в условие. Например, для задачи с 255 км и разницей 2 часа:

• Скорость против течения: 16−1=15 км/ч, время: 255/15=17 ч.
• Скорость по течению: 16+1=17 км/ч, время: 255/17=15 ч.
• Разница: 17−15=2 ч — верно.

Если ответ не сходится — пересчитайте уравнение или проверьте арифметику.

Часто задаваемые вопросы

Что такое собственная скорость лодки?

Собственная скорость лодки — это её скорость в неподвижной воде, без учёта течения реки. В задачах её обозначают как v_собств или просто v. От неё отталкиваются при расчёте движения по течению (скорость увеличивается) и против течения (скорость уменьшается).

Как найти скорость течения, если известны скорости по течению и против течения?

Достаточно вычесть из скорости по течению скорость против течения и разделить результат на 2: v_теч = (v_по теч - v_против теч) / 2. Например, если лодка идёт по течению 18 км/ч, а против — 14 км/ч, то скорость течения равна (18-14)/2 = 2 км/ч.

Как составить уравнение для задачи на движение по реке?

Основной принцип: путь, пройденный по течению и против течения, равен. Время выражается как путь, делённый на скорость. Приравнивайте время в одном направлении ко времени в другом с учётом разницы (если она дана). Получается дробно-рациональное уравнение, которое сводится к квадратному.

Почему в ответе иногда получается отрицательный корень и что с ним делать?

Отрицательный корень возникает при решении квадратного уравнения. Он не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной, поэтому его отбрасывают. В ответ записывают только положительный корень, соответствующий реальной скорости лодки.

Как проверить правильность решения задачи на скорость лодки?

Подставьте найденную скорость в исходные условия: вычислите время по течению и против течения, проверьте, сходится ли разница во времени или общее время в пути. Если всё совпадает — решение верное. Также можно проверить, что собственная скорость больше скорости течения (иначе лодка не сможет двигаться против течения).