Радиус описанной окружности треугольника ABC

Что такое описанная окружность треугольника

Описанная окружность треугольника — это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус этой окружности обычно обозначают буквой R. Задача «найдите радиус описанной окружности треугольника ABC» — одна из самых популярных в школьной геометрии (ОГЭ, ЕГЭ, контрольные работы).

Основная формула: теорема синусов

Универсальный способ найти радиус описанной окружности любого треугольника — воспользоваться теоремой синусов:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R ]

Отсюда:

[ R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C} ]

Где применять: если в треугольнике известна хотя бы одна сторона и противолежащий ей угол, радиус можно найти сразу. Если известны все три стороны, но нет углов — сначала находят площадь (формула ниже), а затем используют другую формулу.

Частные случаи: когда треугольник особый

Прямоугольный треугольник

Если угол ( C = 90^\circ ), то гипотенуза ( AB ) является диаметром описанной окружности. Следовательно:

[ R = \frac{AB}{2} ]

Пример: В треугольнике ABC с катетами ( AC = 12 ), ( BC = 5 ) и прямым углом C. По теореме Пифагора гипотенуза ( AB = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 ). Радиус ( R = 13 / 2 = 6{,}5 ).

Равносторонний треугольник

Все стороны равны, все углы по ( 60^\circ ). Используя теорему синусов:

[ R = \frac{a}{2 \sin 60^\circ} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} ]

Пример: Сторона равностороннего треугольника равна ( 6 ). Радиус описанной окружности: ( R = 6 / \sqrt{3} = 2\sqrt{3} ).

Равнобедренный треугольник

Если треугольник равнобедренный, но не равносторонний, удобнее работать с основанием и углом при вершине. Например, если известны боковая сторона ( b ) и угол при вершине ( \gamma ), то радиус можно найти по формуле:

[ R = \frac{b}{2 \sin \gamma} ]

(угол ( \gamma ) — угол между боковыми сторонами).

Как найти радиус описанной окружности по трем сторонам (через площадь)

Если известны длины всех трёх сторон ( a, b, c ), но нет ни одного угла, используют формулу:

[ R = \frac{abc}{4S} ]

где ( S ) — площадь треугольника. Площадь находят по формуле Герона:

[ p = \frac{a + b + c}{2}, \quad S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

Пример: Стороны треугольника равны ( 13, 14, 15 ).
Полупериметр ( p = (13+14+15)/2 = 21 ).
Площадь: ( S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 ).
Радиус: ( R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8{,}125 ).

Пошаговый алгоритм решения задачи «найдите радиус описанной окружности треугольника ABC»

1. Определите, что дано (стороны, углы, координаты, тип треугольника).
2. Выберите подходящую формулу:
   • Если есть сторона и противолежащий угол → ( R = \frac{a}{2\sin A} ).
   • Если треугольник прямоугольный → ( R = \frac{\text{гипотенуза}}{2} ).
   • Если даны три стороны → ( R = \frac{abc}{4S} ) (сначала площадь через Герона).
   • Если известна площадь и все стороны → сразу ( R = \frac{abc}{4S} ).
3. Подставьте числа и выполните вычисления.
4. Проверьте размерность: радиус измеряется в тех же единицах, что и стороны.

Разбор типовых задач из ОГЭ и ЕГЭ

Задача 1. В треугольнике ABC сторона AB = 8, угол C = 30°. Найдите радиус описанной окружности.

Решение. Угол C лежит против стороны AB. По теореме синусов:

[ R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{8}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{8}{2 \cdot 0{,}5} = \frac{8}{1} = 8. ]

Ответ: 8.

Задача 2. В треугольнике ABC стороны равны 6, 7, 9. Найдите радиус описанной окружности.

Решение. Полупериметр: ( p = (6+7+9)/2 = 11 ).
Площадь: ( S = \sqrt{11 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{440} = 2\sqrt{110} \approx 20{,}976 ).
Радиус: ( R = \frac{6 \cdot 7 \cdot 9}{4 \cdot 2\sqrt{110}} = \frac{378}{8\sqrt{110}} = \frac{189}{4\sqrt{110}} \approx 4{,}5 ).

Ответ: ( \frac{189}{4\sqrt{110}} ) или приблизительно 4,5.

Задача 3. В треугольнике ABC угол C = 135°, сторона AB = 3√2. Найдите радиус описанной окружности.

Решение. Угол C противолежит стороне AB. Используем теорему синусов:

[ R = \frac{AB}{2 \sin 135^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3. ]

Ответ: 3.

Типичные ошибки и как их избежать

• Путают описанную и вписанную окружность. Помните: описанная проходит через вершины, вписанная касается сторон.
• Забывают, что для прямоугольного треугольника гипотенуза — диаметр. Если в условии дан прямой угол, сразу ищите гипотенузу.
• Неправильно применяют теорему синусов. Обязательно нужно, чтобы сторона и угол были противолежащими. Если угол не лежит напротив данной стороны, формула не работает.
• Ошибки в вычислениях с синусами. Знайте значения синусов для углов 30°, 45°, 60°, 90°, 135° — они часто встречаются в задачах.
• Не проверяют, существует ли треугольник с такими сторонами. Сумма двух любых сторон должна быть больше третьей (неравенство треугольника). Если условие нарушено, задача не имеет решения.

Используя приведённые формулы и алгоритмы, вы сможете решить любую задачу вида «найдите радиус описанной окружности треугольника ABC» — будь то простой прямоугольный треугольник или произвольный с тремя сторонами.