Найдите длину вектора vec a: формула и примеры

Что такое длина вектора?

Длина (или модуль) вектора — это расстояние от его начала до конца. Это неотрицательное число, которое показывает, насколько «длинным» является вектор. Обозначают длину вектора (\vec{a}) как (|\vec{a}|) или (||\vec{a}||).

Понимание длины вектора необходимо в физике (скорость, сила), геометрии (расстояние между точками) и других точных науках. Если вектор задан координатами, его длина вычисляется по простой формуле, основанной на теореме Пифагора.

Основная формула

На плоскости (2D)

Для вектора (\vec{a}) с координатами ((x, y)):

[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} ]

В пространстве (3D)

Для вектора (\vec{a}) с координатами ((x, y, z)):

[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} ]

Формула работает для любого вектора, заданного в прямоугольной системе координат.

Примеры вычисления

Пример 1. Вектор на плоскости

Дан вектор (\vec{a} = (-3, 4)).

[ |\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ]

Пример 2. Вектор в пространстве

Дан вектор (\vec{a} = (2, -1, 2)).

[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 ]

Пример 3. Вектор через разложение по ортам

Пусть (\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{k} - 2\vec{j}). Это равносильно координатам ((1, -2, 2)). Длина:

[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 ]

Пример 4. По координатам начала и конца

Точка A(1, 2), точка B(4, 6). Вектор (\overrightarrow{AB} = (4-1,\ 6-2) = (3, 4)).

[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 ]

Частные случаи

Нулевой вектор имеет координаты ((0,0)) или ((0,0,0)). Его длина равна 0.
Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1. Его часто обозначают как (\vec{e}) и используют для указания направления.
Если вектор задан в пространстве большей размерности (n-мерное), формула обобщается: (|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}).

Свойства длины вектора

Длина неотрицательна: (|\vec{a}| \ge 0). Равенство нулю только для нулевого вектора.
При умножении вектора на число (\lambda) длина умножается на (|\lambda|): (|\lambda \vec{a}| = |\lambda| \cdot |\vec{a}|).
Для любых векторов выполняется неравенство треугольника: (|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|).

Эти свойства помогают проверять расчёты и упрощать сложные векторные выражения.

Как найти длину вектора онлайн

На нашем сайте доступен удобный калькулятор длины вектора. Просто введите координаты начала и конца или сам вектор — и получите точный результат с пошаговым решением. Это особенно полезно при подготовке к ЕГЭ и контрольным работам.

Если вы встретили задачу «найдите длину вектора (\vec{a})» — примените описанные формулы, и ответ будет найден за пару действий.

Часто задаваемые вопросы

Как найти длину вектора, если даны его координаты?

Если вектор задан координатами (x, y) на плоскости или (x, y, z) в пространстве, его длина (модуль) находится по формуле: |a| = √(x² + y²) — для плоскости; |a| = √(x² + y² + z²) — для пространства. Достаточно подставить числа и извлечь квадратный корень.

Что такое модуль вектора и чем он отличается от длины?

Модуль вектора и его длина — это одно и то же: неотрицательное число, показывающее расстояние от начала вектора до его конца. Термин «модуль» чаще используют в алгебре, «длина» — в геометрии. Обозначается |a| или ||a||.

Как найти длину вектора, заданного разложением по ортам i, j, k?

Разложение по ортам имеет вид a = x·i + y·j + z·k, где x, y, z — координаты. Длина вычисляется по той же формуле: |a| = √(x² + y² + z²). Например, для a = i + 2k – 2j (что то же самое, что 1·i – 2·j + 2·k) длина равна √(1² + (−2)² + 2²) = 3.

Чему равна длина нулевого вектора?

Нулевой вектор имеет координаты (0;0) на плоскости или (0;0;0) в пространстве. Его длина равна нулю: |0| = 0. Это единственный вектор, длина которого равна нулю.

Как найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца?

Если даны точка A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), то вектор AB = (x₂ – x₁; y₂ – y₁). Затем найдите его длину по формуле через координаты. В трёхмерном случае аналогично учитывается третья координата.

Можно ли найти длину вектора без координат?

Да, если известны длина его составляющих по правилу треугольника или параллелограмма. Например, если вектор является суммой двух перпендикулярных векторов с длинами a и b, то его длина равна √(a² + b²). В общем случае используется теорема косинусов.