Найди вектор, равный разности векторов

Операция вычитания (нахождения разности) векторов — одно из базовых действий в векторной алгебре. Она применяется в геометрии, физике, механике и компьютерной графике, когда нужно найти вектор, направленный от одного объекта к другому, или определить относительное смещение. В этой статье мы разберём, как найти вектор, равный разности двух векторов, двумя способами: по координатам и геометрическим построением.

Формула разности векторов по координатам

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе координат, найти их разность проще всего через алгебраическое вычитание соответствующих координат.

Для двумерного пространства (плоскость):

Пусть даны векторы $\vec{a}(x_1, y_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2)$. Тогда вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты:

$$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; \; y_1 - y_2)$$

Для трёхмерного пространства (пространство):

Если $\vec{a}(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b}(x_2, y_2, z_2)$, то разность:

$$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; \; y_1 - y_2; \; z_1 - z_2)$$

Пример 1. Найти разность векторов по координатам

Даны векторы $\vec{a}(8; -2)$ и $\vec{b}(-7; 4)$. Найти вектор $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

Решение:

$$\vec{c} = (8 - (-7); \; -2 - 4) = (8 + 7; \; -6) = (15; -6)$$

Ответ: $\vec{c}(15; -6)$.

Пример 2. Разность с умножением на число

Даны $\vec{a}(6; -4)$, $\vec{b}(-3; -3)$, $\vec{c}(-5; -8)$. Найти вектор $3\vec{a} - 4\vec{b} - 3\vec{c}$.

Решение:

1. Найдём координаты каждого слагаемого:

   • $3\vec{a} = (18; -12)$
   • $4\vec{b} = (-12; -12)$
   • $3\vec{c} = (-15; -24)$

2. Выполним вычитание:

   $$\begin{aligned} 3\vec{a} - 4\vec{b} - 3\vec{c} &= (18 - (-12) - (-15); \; -12 - (-12) - (-24)) \\ &= (18 + 12 + 15; \; -12 + 12 + 24) = (45; 24) \end{aligned}$$

Ответ: $(45; 24)$.

Геометрический способ нахождения разности векторов

Геометрически разность векторов можно построить двумя способами: через правило треугольника или через правило параллелограмма.

Правило треугольника для разности

Чтобы найти вектор $\vec{a} - \vec{b}$:

1. Отложите оба вектора от одной точки (например, точки O).
2. Соедините конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$.
3. Полученный направленный отрезок и есть вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$. Его направление — от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Это правило легко запомнить: «из конца вычитаемого в конец уменьшаемого».

Правило параллелограмма для разности

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены от одной точки, то разность $\vec{a} - \vec{b}$ — это вторая диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. Она соединяет концы векторов (но не ту диагональ, которая идёт из общей точки — та является суммой).

Связь вычитания со сложением

Вычитание векторов можно заменить сложением с противоположным вектором:

$$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$$

Противоположный вектор $-\vec{b}$ имеет те же координаты, что и $\vec{b}$, но с обратными знаками, а геометрически — ту же длину, но направлен в противоположную сторону.

Пример 3. Геометрическое нахождение разности

В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 6$, $BC = 8$ найти длину вектора $\vec{AB} - \vec{AD}$.

Решение:

1. Вектор $\vec{AB}$ направлен вправо, $\vec{AD}$ — вверх. Отложим их от точки A.
2. По правилу треугольника разность $\vec{AB} - \vec{AD}$ — это вектор, идущий от конца $\vec{AD}$ (точка D) к концу $\vec{AB}$ (точка B). По чертежу это вектор $\vec{DB}$.
3. Длина $\vec{DB}$ — диагональ прямоугольника: $|\vec{DB}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.

Ответ: 10.

Свойства разности векторов

• Коммутативность не выполняется: $\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}$ (в общем случае разность меняет знак).
• $\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$ (нулевой вектор).
• $\vec{a} - \vec{0} = \vec{a}$.
• Если $\vec{a} = \vec{b}$, то разность равна нулевому вектору.
• Разность векторов можно представить как сумму с противоположным: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

Частые ошибки

1. Путают порядок вычитания. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ означает, что из координат $\vec{a}$ вычитаются координаты $\vec{b}$, а не наоборот.
2. Неправильное направление при геометрическом построении. Разность всегда направлена от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
3. Забывают вычитать все координаты. В трёхмерном случае нужно вычитать и аппликату $z$.
4. Путают разность с суммой. Сумма — это диагональ параллелограмма из общей точки, разность — вторая диагональ.

Часто задаваемые вопросы

Как найти разность векторов по координатам?

Чтобы найти разность векторов по координатам, нужно вычесть из соответствующих координат первого вектора координаты второго: (x₁ – x₂; y₁ – y₂). Для трёхмерного пространства добавляется вычитание аппликат: (x₁ – x₂; y₁ – y₂; z₁ – z₂).

В чем разница между разностью векторов и суммой?

При сложении координаты складываются, при вычитании — вычитаются. Геометрически сумма — это диагональ параллелограмма, построенного на двух векторах, а разность — вторая диагональ, проведённая от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Как геометрически построить разность векторов?

Для построения разности a – b нужно отложить оба вектора от одной точки. Затем вектор, идущий от конца вычитаемого (b) к концу уменьшаемого (a), и будет искомой разностью. Это правило треугольника для разности.

Что такое противоположный вектор?

Противоположным вектору a называется вектор –a, имеющий ту же длину, но противоположное направление. Его координаты равны координатам a, умноженным на –1. Вычитание векторов можно заменить сложением с противоположным: a – b = a + (–b).

Можно ли вычитать векторы, если они не отложены от одной точки?

Да, можно. Для этого достаточно перенести один из векторов параллельно самому себе в начало другого. От изменения положения вектора его координаты не меняются, поэтому разность находится по тем же формулам.

Как найти длину вектора разности?

Длина вектора разности находится по формуле: |a – b| = √((x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²). Если векторы заданы в трёхмерном пространстве, добавляется квадрат разности аппликат. Длина — это модуль вектора.

Заключение

Найти вектор, равный разности двух векторов, можно двумя равноправными методами: аналитическим (по координатам) и геометрическим (построением). Первый удобен для точных вычислений, второй — для наглядного понимания направления и длины. Зная формулу разности и правило треугольника, вы сможете решать задачи на вычитание векторов любой сложности.