Образование·Геометрия

Найди вектор, равный разности векторов

Узнайте, как найти вектор, равный разности двух векторов, по координатам и геометрически. Подробные примеры, правило треугольника и формула.

Уменьшаемый: k₁ · a
Вычитаемый: k₂ · b

Операция вычитания (нахождения разности) векторов — одно из базовых действий в векторной алгебре. Она применяется в геометрии, физике, механике и компьютерной графике, когда нужно найти вектор, направленный от одного объекта к другому, или определить относительное смещение. В этой статье мы разберём, как найти вектор, равный разности двух векторов, двумя способами: по координатам и геометрическим построением.

Формула разности векторов по координатам

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе координат, найти их разность проще всего через алгебраическое вычитание соответствующих координат.

Для двумерного пространства (плоскость):

Пусть даны векторы (\vec{a}(x_1, y_1)) и (\vec{b}(x_2, y_2)). Тогда вектор (\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}) имеет координаты:

[ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; ; y_1 - y_2) ]

Для трёхмерного пространства (пространство):

Если (\vec{a}(x_1, y_1, z_1)) и (\vec{b}(x_2, y_2, z_2)), то разность:

[ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; ; y_1 - y_2; ; z_1 - z_2) ]

Пример 1. Найти разность векторов по координатам

Даны векторы (\vec{a}(8; -2)) и (\vec{b}(-7; 4)). Найти вектор (\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}).

Решение:

[ \vec{c} = (8 - (-7); ; -2 - 4) = (8 + 7; ; -6) = (15; -6) ]

Ответ: (\vec{c}(15; -6)).

Пример 2. Разность с умножением на число

Даны (\vec{a}(6; -4)), (\vec{b}(-3; -3)), (\vec{c}(-5; -8)). Найти вектор (3\vec{a} - 4\vec{b} - 3\vec{c}).

Решение:

  1. Найдём координаты каждого слагаемого:

    • (3\vec{a} = (18; -12))
    • (4\vec{b} = (-12; -12))
    • (3\vec{c} = (-15; -24))

  2. Выполним вычитание: [ \begin{aligned} 3\vec{a} - 4\vec{b} - 3\vec{c} &= (18 - (-12) - (-15); ; -12 - (-12) - (-24)) \ &= (18 + 12 + 15; ; -12 + 12 + 24) = (45; 24) \end{aligned} ]

Ответ: ((45; 24)).

Геометрический способ нахождения разности векторов

Геометрически разность векторов можно построить двумя способами: через правило треугольника или через правило параллелограмма.

Правило треугольника для разности

Чтобы найти вектор (\vec{a} - \vec{b}):

  1. Отложите оба вектора от одной точки (например, точки O).
  2. Соедините конец вектора (\vec{b}) с концом вектора (\vec{a}).
  3. Полученный направленный отрезок и есть вектор разности (\vec{a} - \vec{b}). Его направление — от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Это правило легко запомнить: «из конца вычитаемого в конец уменьшаемого».

Правило параллелограмма для разности

Если векторы (\vec{a}) и (\vec{b}) отложены от одной точки, то разность (\vec{a} - \vec{b}) — это вторая диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. Она соединяет концы векторов (но не ту диагональ, которая идёт из общей точки — та является суммой).

Связь вычитания со сложением

Вычитание векторов можно заменить сложением с противоположным вектором:

[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) ]

Противоположный вектор (-\vec{b}) имеет те же координаты, что и (\vec{b}), но с обратными знаками, а геометрически — ту же длину, но направлен в противоположную сторону.

Пример 3. Геометрическое нахождение разности

В прямоугольнике (ABCD) со сторонами (AB = 6), (BC = 8) найти длину вектора (\vec{AB} - \vec{AD}).

Решение:

  1. Вектор (\vec{AB}) направлен вправо, (\vec{AD}) — вверх. Отложим их от точки A.
  2. По правилу треугольника разность (\vec{AB} - \vec{AD}) — это вектор, идущий от конца (\vec{AD}) (точка D) к концу (\vec{AB}) (точка B). По чертежу это вектор (\vec{DB}).
  3. Длина (\vec{DB}) — диагональ прямоугольника: (|\vec{DB}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10).

Ответ: 10.

Свойства разности векторов

  • Коммутативность не выполняется: (\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}) (в общем случае разность меняет знак).
  • (\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}) (нулевой вектор).
  • (\vec{a} - \vec{0} = \vec{a}).
  • Если (\vec{a} = \vec{b}), то разность равна нулевому вектору.
  • Разность векторов можно представить как сумму с противоположным: (\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})).

Частые ошибки

  1. Путают порядок вычитания. Вектор (\vec{a} - \vec{b}) означает, что из координат (\vec{a}) вычитаются координаты (\vec{b}), а не наоборот.
  2. Неправильное направление при геометрическом построении. Разность всегда направлена от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
  3. Забывают вычитать все координаты. В трёхмерном случае нужно вычитать и аппликату (z).
  4. Путают разность с суммой. Сумма — это диагональ параллелограмма из общей точки, разность — вторая диагональ.

Заключение

Найти вектор, равный разности двух векторов, можно двумя равноправными методами: аналитическим (по координатам) и геометрическим (построением). Первый удобен для точных вычислений, второй — для наглядного понимания направления и длины. Зная формулу разности и правило треугольника, вы сможете решать задачи на вычитание векторов любой сложности.

Часто задаваемые вопросы

Как найти разность векторов по координатам?
Чтобы найти разность векторов по координатам, нужно вычесть из соответствующих координат первого вектора координаты второго: (x₁ – x₂; y₁ – y₂). Для трёхмерного пространства добавляется вычитание аппликат: (x₁ – x₂; y₁ – y₂; z₁ – z₂).
В чем разница между разностью векторов и суммой?
При сложении координаты складываются, при вычитании — вычитаются. Геометрически сумма — это диагональ параллелограмма, построенного на двух векторах, а разность — вторая диагональ, проведённая от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
Как геометрически построить разность векторов?
Для построения разности a – b нужно отложить оба вектора от одной точки. Затем вектор, идущий от конца вычитаемого (b) к концу уменьшаемого (a), и будет искомой разностью. Это правило треугольника для разности.
Что такое противоположный вектор?
Противоположным вектору a называется вектор –a, имеющий ту же длину, но противоположное направление. Его координаты равны координатам a, умноженным на –1. Вычитание векторов можно заменить сложением с противоположным: a – b = a + (–b).
Можно ли вычитать векторы, если они не отложены от одной точки?
Да, можно. Для этого достаточно перенести один из векторов параллельно самому себе в начало другого. От изменения положения вектора его координаты не меняются, поэтому разность находится по тем же формулам.
Как найти длину вектора разности?
Длина вектора разности находится по формуле: |a – b| = √((x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²). Если векторы заданы в трёхмерном пространстве, добавляется квадрат разности аппликат. Длина — это модуль вектора.

Похожие калькуляторы и статьи