Формула корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a \neq 0$ . Корни вычисляются по формуле:

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант. Знак «±» даёт два значения: одно со знаком «плюс», другое со знаком «минус».

Что такое дискриминант

Дискриминант — выражение $D = b^2 - 4ac$ , которое вычисляется из коэффициентов квадратного уравнения. Его значение определяет количество корней:

$D > 0$ — два различных действительных корня
$D = 0$ — один корень (формула даёт два совпадающих значения)
$D < 0$ — действительных корней нет

Пошаговый алгоритм решения

Привести уравнение к виду $ax^2 + bx + c = 0$ — все слагаемые в левой части
Определить коэффициенты $a$ , $b$ , $c$
Вычислить дискриминант $D = b^2 - 4ac$
Подставить значения в формулу корней
Записать ответ

Примеры решения

Пример 1: два корня (D > 0)

Решите уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$ .

Коэффициенты: $a = 2$ , $b = -3$ , $c = -2$ .

Дискриминант:

D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25

Корни:

x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$ , $\quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 2$ , $x_2 = -\frac{1}{2}$

Пример 2: один корень (D = 0)

Решите уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$ .

$a = 1$ , $b = -4$ , $c = 4$ .

D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0

x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{4}{2} = 2

Ответ: $x = 2$

Пример 3: нет корней (D < 0)

Решите уравнение $x^2 + x + 1 = 0$ .

$a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ .

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3

$D < 0$ — действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

Упрощённая формула для чётного b

Если второй коэффициент чётный ( $b = 2k$ ), вычисления упрощаются. Вместо $D$ используется $D_1$ :

D_1 = k^2 - ac

Формула корней:

x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}

Числа меньше, считать проще. Результат совпадает с основной формулой.

Пример с упрощённой формулой

Решите уравнение $3x^2 + 14x + 8 = 0$ .

$b = 14 = 2 \cdot 7$ , значит $k = 7$ .

D_1 = 7^2 - 3 \cdot 8 = 49 - 24 = 25

x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{3} = \frac{-7 \pm 5}{3}

$x_1 = \frac{-7 + 5}{3} = -\frac{2}{3}$ , $\quad x_2 = \frac{-7 - 5}{3} = -4$

Ответ: $x_1 = -\frac{2}{3}$ , $x_2 = -4$

Теорема Виета

Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма и произведение корней связаны с коэффициентами:

x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q

Это позволяет подбирать корни без вычисления дискриминанта. Например, для $x^2 - 5x + 6 = 0$ корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$ : сумма равна $5$ , произведение равно $6$ .

Теорема Виета удобна, когда корни — целые числа или простые дроби. В остальных случаях надёжнее использовать формулу с дискриминантом.

Частые ошибки

Потеря знака у $b$ . В формуле стоит $-b$ . Если $b = -5$ , то $-b = 5$ .
Забыли знаменатель $2a$ . Делить нужно на $2a$ , а не на $2$ .
Уравнение не в стандартном виде. Сначала перенесите все слагаемые влево.
Деление на $x$ . Так теряется корень $x = 0$ . Используйте формулу или вынесение общего множителя за скобки.

Часто задаваемые вопросы

Как проверить правильность найденных корней?

Подставьте найденные значения x в исходное уравнение. Если левая часть равна нулю, корень верный. Также можно использовать теорему Виета: сумма корней должна равняться -b/a, а произведение — c/a.

Можно ли найти корни без дискриминанта?

Да. Для приведённых уравнений с целочисленными корнями удобна теорема Виета. Неполные уравнения вида ax²+bx=0 решаются вынесением x за скобки, а ax²+c=0 — извлечением квадратного корня из обеих частей.

Что делать, если дискриминант меньше нуля?

Если D<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней. В школьном курсе записывается ответ «корней нет». В высшей математике в этом случае находят комплексные корни по той же формуле.

В чём разница между D и D₁?

D — стандартный дискриминант, вычисляется как b²−4ac. D₁ — упрощённая версия для чётного второго коэффициента b=2k: D₁=k²−ac. При D₁ формула корней проще: x=(−k±√D₁)/a вместо x=(−b±√D)/(2a).

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Не более двух. При положительном дискриминанте — два различных корня, при нулевом — один корень (считается дважды), при отрицательном — ни одного действительного. Это напрямую следует из основной формулы.

Чем формула корней отличается от теоремы Виета?

Формула корней универсальна и работает всегда, но требует вычислений. Теорема Виета связывает корни с коэффициентами и удобна для подбора, но требует угадывания. Для рациональных корней теорема быстрее.

Похожие калькуляторы и статьи