Калькулятор перевода систем счисления

Позиционная система счисления — способ записи чисел, в котором значение каждой цифры зависит от её позиции. Основание системы $b$ определяет количество используемых знаков: в двоичной системе их два (0 и 1), в десятичной — десять (0–9), в шестнадцатеричной — шестнадцать (0–9 и A–F).

Перевод в десятичную систему

Для перевода числа из системы с основанием $b$ в десятичную используют разложение по степеням основания:

$$N_{10} = d_n \cdot b^n + d_{n-1} \cdot b^{n-1} + \dots + d_1 \cdot b^1 + d_0 \cdot b^0$$

где $d_i$ — цифра числа в позиции $i$ (нумерация справа налево, начиная с 0).

Пример. Переведём $1001011_2$ в десятичную систему:

$1001011_2 = 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 64 + 8 + 2 + 1 = 75_{10}$

Перевод из десятичной системы

Чтобы перевести целое число из десятичной системы в систему с основанием $b$, применяют последовательное деление на $b$ с фиксацией остатков. Процесс продолжается, пока частное не станет нулём. Остатки записывают в обратном порядке — от последнего к первому.

Пример. Переведём $345_{10}$ в шестнадцатеричную систему:

$$345 / 16 = 21 \text{ (остаток } 9\text{)} \\ 21 / 16 = 1 \text{ (остаток } 5\text{)} \\ 1 / 16 = 0 \text{ (остаток } 1\text{)}$$

Собирая остатки снизу вверх, получаем $159_{16}$. Проверка: $1 \cdot 16^2 + 5 \cdot 16 + 9 = 345$.

Быстрый перевод через триады и тетрады

Так как $8 = 2^3$ и $16 = 2^4$, между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами возможен мгновенный перевод без промежуточных вычислений. Двоичные разряды группируют справа налево по три (триады для восьмеричной) или по четыре (тетрады для шестнадцатеричной), затем каждую группу заменяют соответствующей цифрой.

Десятичная	Двоичная (триада)	Восьмеричная	Двоичная (тетрада)	Шестнадцатеричная
0	000	0	0000	0
1	001	1	0001	1
2	010	2	0010	2
3	011	3	0011	3
4	100	4	0100	4
5	101	5	0101	5
6	110	6	0110	6
7	111	7	0111	7
8	—	—	1000	8
9	—	—	1001	9
10	—	—	1010	A
11	—	—	1011	B
12	—	—	1100	C
13	—	—	1101	D
14	—	—	1110	E
15	—	—	1111	F

Пример. Число $11101001_2$. Для восьмеричной разбиваем по три разряда: $011\ 101\ 001 \rightarrow 351_8$. Для шестнадцатеричной — по четыре: $1110\ 1001 \rightarrow E9_{16}$.

Перевод дробных чисел

Перевод правильных дробей из десятичной системы выполняется умножением на основание целевой системы. Целая часть каждого произведения становится очередной цифрой результата, а дробная часть умножается снова. Процесс останавливается при обнулении дроби или достижении требуемой точности.

Пример. Переведём $0{,}625_{10}$ в двоичную систему:

$$0{,}625 \cdot 2 = 1{,}25 \quad (1) \\ 0{,}25 \cdot 2 = 0{,}5 \quad (0) \\ 0{,}5 \cdot 2 = 1{,}0 \quad (1)$$

Записывая целые части сверху вниз после точки, получаем $0{,}101_2$.

Часто задаваемые вопросы

Какое максимальное основание поддерживает калькулятор?

Онлайн-калькулятор работает с позиционными системами счисления с основанием от 2 до 36. Для записи цифр используются арабские цифры 0–9 и латинские буквы A–Z. Если вам требуется другое основание, воспользуйтесь универсальной формулой разложения по степеням.

Почему компьютеры используют двоичную систему?

Электронные схемы надёжно различают только два состояния: наличие сигнала и его отсутствие. Это соответствует цифрам 1 и 0. Двоичная система проще в аппаратной реализации и устойчива к помехам, что важно для миллиардов транзисторов в процессоре.

Как перевести дробное десятичное число в двоичное?

Целую часть переводят делением на 2 с остатком, а дробную — последовательным умножением на 2. Целые части каждого произведения выписывают сверху вниз после двоичной точки. Например, 0,625₁₀ превращается в 0,101₂.

Что такое триады и тетрады?

Триада — группа из трёх двоичных разрядов, заменяющая одну восьмеричную цифру. Тетрада — группа из четырёх разрядов, соответствующая одной шестнадцатеричной цифре. Они позволяют мгновенно переводить числа между системами 2, 8 и 16 без промежуточных вычислений.

Как проверить правильность перевода?

Выполните обратное преобразование в десятичную систему методом разложения по степеням. Если полученное значение совпадает с исходным, перевод выполнен верно. Этот способ работает для любых позиционных систем счисления.

Можно ли переводить отрицательные числа?

Данный калькулятор рассчитан на перевод модуля числа. В информатике отрицательные значения представляются специальными форматами — прямым, обратным или дополнительным кодом. Для учебных расчётов знак переносят отдельно.