Калькулятор комплексных чисел онлайн

Арифметические операции с комплексными числами

Над комплексными числами определены четыре базовые операции. Для пары чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di действуют следующие правила.

Сложение и вычитание выполняются покомпонентно:

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

Умножение использует правило дистрибутивности и свойство i² = −1:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

Деление требует умножения числителя и знаменателя на сопряжённое знаменателя:

(a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

Практические примеры

Пример 1. Сложить 3 + 4i и 1 − 2i.

Действительные части: 3 + 1 = 4. Мнимые части: 4 − 2 = 2. Результат: 4 + 2i.

Пример 2. Умножить 2 + 3i на 5 − i.

Перемножаем: 2·5 + 2·(−i) + 3i·5 + 3i·(−i) = 10 − 2i + 15i − 3i². Так как i² = −1, получаем 10 + 13i + 3 = 13 + 13i.

Пример 3. Разделить 1 + i на 2 − i.

Умножаем на сопряжённое: (1 + i)(2 + i) / ((2)² + (−1)²) = (2 + i + 2i + i²) / 5 = (2 + 3i − 1) / 5 = (1 + 3i) / 5 = 0,2 + 0,6i.

Модуль и аргумент

Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по теореме Пифагора:

|z| = √(a² + b²)

Модуль всегда неотрицателен и равен расстоянию от точки (a, b) до начала координат на комплексной плоскости.

Аргумент — это угол φ, который радиус-вектор образует с положительным направлением действительной оси:

arg(z) = arctg(b / a)

Значение аргумента зависит от квадранта:

• Если a > 0: φ = arctg(b/a)
• Если a < 0, b ≥ 0: φ = π + arctg(b/a)
• Если a < 0, b < 0: φ = −π + arctg(b/a)
• Если a = 0, b > 0: φ = π/2
• Если a = 0, b < 0: φ = −π/2

Пример

Для z = −3 + 4i: |z| = √(9 + 16) = √25 = 5. Так как a < 0, b > 0, аргумент равен π + arctg(4/(−3)) ≈ π − arctg(1,33) ≈ 2,21 рад (≈126,87°).

Формы представления комплексных чисел

Алгебраическая форма

Стандартная запись z = a + bi. Действительная часть Re(z) = a, мнимая Im(z) = b.

Тригонометрическая форма

z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z|, φ = arg(z).

Переход от алгебраической к тригонометрической форме: r = √(a² + b²), φ = arctg(b / a) с учётом квадранта.

Показательная форма

По формуле Эйлера e^(iφ) = cos φ + i sin φ, поэтому:

z = r·e^(iφ)

Эта форма особенно удобна при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корней.

Возведение в степень и извлечение корня

Степень (формула Муавра)

zⁿ = rⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ))

Например, (1 + i)⁴. Число 1 + i имеет модуль √2 и аргумент π/4. Тогда (√2)⁴(cos(4·π/4) + i sin(4·π/4)) = 4(cos π + i sin π) = 4(−1 + 0·i) = −4.

Корень n-й степени

Извлекаются n корней по формуле:

z^(1/n) = r^(1/n)(cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)), k = 0, 1, …, n−1

Например, √i даёт два значения: cos(π/4) + i sin(π/4) = √2/2 + i√2/2 и cos(5π/4) + i sin(5π/4) = −√2/2 − i√2/2.

Тригонометрические и гиперболические функции

Калькулятор поддерживает прямые и обратные тригонометрические функции:

• sin z, cos z, tg z, ctg z
• arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z

А также гиперболические:

• sh z, ch z, th z, cth z
• arsh z, arch z, arth z, arcth z

Аргумент этих функций может быть комплексным. Например, sin(i) = i·sh(1) ≈ 1,175i, а cos(i) = ch(1) ≈ 1,543.

Типичные ошибки при вычислениях

1. Забыть про сопряжённое при делении. Деление (a + bi)/(c + di) требует умножения на (c − di), а не на (c + di).

2. Не учитывать знак i². Квадрат мнимой единицы равен −1, а не +1.

3. Игнорировать квадрант при вычислении аргумента. Функция arctg возвращает значения только в диапазоне (−π/2, π/2), поэтому для чисел в 2-м и 3-м квадрантах нужно корректировать результат.

4. Использовать неполную формулу Эйлера. Формула e^(iφ) = cos φ + i sin φ, а не cos φ + sin φ.

Когда без калькулятора не обойтись

Ручной расчёт допустим для простых операций с числами, содержащими целые или короткие десятичные коэффициенты. Но если выражение включает вложенные функции, корни, степени с дробными показателями или обратные тригонометрические операции, вероятность арифметической ошибки резко возрастает. Онлайн-калькулятор комплексных чисел экономит время и исключает погрешности промежуточных вычислений.

Практическое применение

Комплексные числа используются в электротехнике для представления импеданса Z = R + iX, где R — активное сопротивление, X — реактивное. Полное сопротивление цепи переменного тока вычисляется по тем же правилам, что и обычные комплексные числа.

В квантовой механике состояния описываются волновыми функциями, а операции измерения сводятся к комплексному сопряжению и нормировке. В теории управления и обработке сигналов преобразование Фурье использует комплексные экспоненты для разложения сигналов на частотные компоненты.

Наш калькулятор пригодится студентам при проверке домашних заданий, инженерам для быстрых расчётов параметров цепей, а также исследователям, работающим с математическим аппаратом, требующим точности до нескольких знаков после запятой.