МатематикаСтепени и корни

Как посчитать степень числа

Пошаговая инструкция, как посчитать степень числа вручную и на калькуляторе. Натуральная, отрицательная, дробная и нулевая степень с примерами.

Число, которое умножается само на себя
Сколько раз умножить

Тип показателя

Похожие калькуляторы и статьи

Все калькуляторы раздела «Степени и корни» (20) →

Определение и краткая запись

Степень — это сокращённая запись многократного умножения одинаковых чисел. В выражении ana^n число aa называют основанием, а натуральное число nn — показателем степени. Основание берётся множителем ровно nn раз:

an=a⋅a⋅…⋅a⏟n разa^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ раз}}

Например, 434^3 означает 4⋅4⋅44 \cdot 4 \cdot 4, то есть три множителя, каждый из которых равен четырём.

Натуральная степень: считаем вручную

Если показатель — целое положительное число, достаточно последовательно умножить основание само на себя.
Пример. Найдём 252^5:

25=2⋅2⋅2⋅2⋅2=322^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

Для проверки можно разбить вычисление на группы: 25=22⋅23=4⋅8=322^5 = 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32.

Нулевая и первая степени

Две особые ситуации не требуют умножения:

a1=aa^1 = a a0=1(a≠0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Выражение 000^0 в базовом школьном курсе считают неопределённым.

Отрицательный показатель

Показатель со знаком минус переводит число из числителя в знаменатель и наоборот, меняя знак показателя на плюс:

a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}

Пример. Вычислим 3−23^{-2}:

3−2=132=193^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}

Дробный показатель

Дробная степень заменяет одновременно корень и целую степень:

amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

Здесь nn — индекс корня, mm — новый показатель. Основание должно быть неотрицательным, если nn чётное.

Пример. Найдём 8238^{\frac{2}{3}}:

823=823=643=48^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4

Можно сначала извлечь корень, а потом возвести в целую степень: (83)2=22=4(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4.

Свойства степеней для упрощения

Эти правила позволяют считать быстрее, не расписывая каждое умножение:

  1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

    am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

  2. При делении показатели вычитаются:

    aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

  3. При возведении степени в степень показатели перемножаются:

    (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}

  4. Степень произведения раскладывается на произведение степеней:

    (ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n

Пример. Упростим 5754\frac{5^7}{5^4}:

5754=57−4=53=125\frac{5^7}{5^4} = 5^{7-4} = 5^3 = 125

Порядок действий в выражениях

Если в примере встречаются степени, они вычисляются раньше умножения и деления, но позже раскрытия скобок. Схема:

  1. Действия в скобках.
  2. Возведение в степень.
  3. Умножение и деление слева направо.
  4. Сложение и вычитание слева направо.

Пример. Найдём значение 2+3⋅422 + 3 \cdot 4^2:

42=16;3⋅16=48;2+48=504^2 = 16;\quad 3 \cdot 16 = 48;\quad 2 + 48 = 50

Как посчитать на калькуляторе

На инженерном калькуляторе обычно есть клавиша xyx^y или ∧^\land. Порядок ввода: сначала основание, затем кнопка степени, затем показатель и знак равенства. На нашем сайте достаточно ввести оба числа в онлайн-калькулятор степеней — результат появится автоматически без необходимости нажимать промежуточные кнопки.

Типичные ошибки

  • Умножение основания на показатель. Запись 343^4 означает 3⋅3⋅3⋅3=813 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81, а не 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.
  • Смешивание знаков. Если основание отрицательное, результат положителен при чётном показателе и отрицателен при нечётном: (−2)3=−8(-2)^3 = -8, но (−2)4=16(-2)^4 = 16.
  • Основание ноль в отрицательной степени. Выражение 0−n0^{-n} не имеет смысла, так как при переносе в знаменатель получается деление на ноль.

Часто задаваемые вопросы

Чем основание степени отличается от показателя?
Основание — это число, которое многократно умножается само на себя, а показатель указывает точное количество таких множителей в произведении. Например, в записи $5^3$ основание равно пяти, а показатель три означает, что число пять участвует в умножении трижды. Запись читается как «пять в третьей степени».
Можно ли возвести отрицательное число в дробную степень?
При дробном показателе с чётным знаменателем основание не может быть отрицательным, поскольку извлечение корня чётной степени из отрицательного числа не имеет значения в действительных числах. Если знаменатель дроби нечётный, операция допустима и результат зависит от числителя. Перед вычислением всегда проверяйте знаменатель дробного показателя.
В каком порядке выполнять действия, если в выражении есть степень?
Возведение в степень выполняется раньше умножения и деления, но позже вычисления содержимого скобок. Если основание записано в скобках, сначала упрощают выражение внутри них, затем возводят результат в степень. После этого переходят к умножению, делению, а затем к сложению и вычитанию слева направо.
Как быстро возвести число в степень без калькулятора?
Разложите показатель на сумму или произведение простых чисел, применяя свойства степеней. Чтобы найти $2^6$, можно вычислить $2^3=8$, а затем возвести результат в квадрат: $8^2=64$. Для дробных показателей удобно сразу переходить к извлечению корня и последующему возведению в целую степень.
Почему число в нулевой степени равно единице?
Это следует из свойства деления степеней с одинаковым основанием: $a^n / a^n = a^{n-n} = a^0$. Поскольку при делении одинаковых чисел результат равен единице, примем, что $a^0 = 1$ для любого ненулевого основания. Исключением остаётся выражение $0^0$, которое в школьном курсе считается неопределённым.
Что означают термины «квадрат» и «куб» числа?
Квадрат числа — это вторая степень, название связано с формулой площади квадрата со стороной $a$, то есть $S=a^2$. Куб числа — третья степень, она отражает объём куба с ребром $a$ по формуле $V=a^3$. Эти названия пришли из древнегреческой геометрической традиции и остаются стандартными в школьном курсе.