Как посчитать степень

Чтобы посчитать степень числа, умножьте его само на себя столько раз, сколько указано в показателе. Например, 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. Если показатель отрицательный или дробной, применяют свойства степеней, которые сводят задачу к простому умножению или извлечению корня.

Что такое основание и показатель степени

Запись aⁿ состоит из двух элементов. Число a – основание степени, оно показывает, какое именно число умножается. Число n – показатель степени, он указывает, сколько раз участвует умножение. Выражение читается как «a в степени n».

• При натуральном показателе (1, 2, 3…) степень – это обычное произведение: aⁿ = a × a × … × a (n раз).
• Показатель 1 не меняет число: a¹ = a.
• Показатель 0 даёт результат 1 для любого основания, кроме нуля: a⁰ = 1.

Калькулятор степеней

Калькулятор выше позволяет мгновенно возвести любое действительное число в степень с целым или десятичным показателем. Достаточно ввести основание и показатель, чтобы получить точный результат.

Как считать степень по формулам

При работе с большими числами удобнее не расписывать каждое умножение, а пользоваться свойствами степеней.

Умножение степеней с одинаковым основанием. Показатели складываются: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Пример: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.

Деление степеней с одинаковым основанием. Из показателя делимого вычитается показатель делителя: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ. Пример: 5⁶ ÷ 5² = 5⁴ = 625.

Возведение степени в степень. Показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Пример: (3²)³ = 3⁶ = 729.

Произведение в степени. Каждый множитель возводится отдельно: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ. Пример: (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1 000.

Частное в степени. Числитель и знаменатель возводятся по отдельности: (a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ. Пример: (6 ÷ 2)² = 6² ÷ 2² = 36 ÷ 4 = 9.

Как посчитать отрицательную степень

Отрицательный показатель меняет порядок: число переносится в знаменатель дроби, а показатель становится положительным. a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Пример: 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8 = 0,125.

Если отрицательная степень стоит у дроби, правило действует в обратную сторону: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Пример: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 = 2,25.

Как посчитать дробную степень

Дробный показатель m/n заменяется корнем n-й степени из числа, возведённого в степень m: aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ).

Часто удобнее сначала извлечь корень, а потом возвести результат в степень, или наоборот – в зависимости от чисел. Пример: 8²/³ = ³√(8²) = ³√64 = 4. Другой способ: (³√8)² = 2² = 4.

Показатель 1/2 равен квадратному корню, 1/3 – кубическому.

Как возвести в степень на калькуляторе

Чтобы не считать вручную, используйте подручные средства.

Инженерный калькулятор. Введите основание, нажмите клавишу [xʸ] или [^], введите показатель и нажмите [=]. На некоторых моделях кнопка обозначена как [yˣ].

Поиск Google. В строку поиска введите выражение через символ ^, например 2^10 или 5.2^-3.

Калькулятор Windows. Переключитесь в инженерный режим. Введите число, выберите [x^y], введите показатель и нажмите [=].

Таблицы Excel и Google Sheets. Используйте функцию =СТЕПЕНЬ(основание; показатель) или оператор ^, например =2^10.

Где применяются степени в расчётах

Степени используются в задачах далеко за пределами школьных учебников.

Геометрия. Площадь квадрата со стороной a считается как a², объём куба – как a³.

Информатика. Объёмы данных измеряются в степенях двойки. 1 КБ = 2¹⁰ = 1 024 байт, 1 МБ = 2²⁰ = 1 048 576 байт.

Финансы. Сложные проценты рассчитываются по формуле S = P × (1 + r)ⁿ, где P – начальная сумма, r – ставка за период, n – количество периодов. Вклад 100 000 рублей под 10% годовых на 2 года даст 100 000 × 1,1² = 121 000 рублей.

Физика и биология. Экспоненциальный рост числа бактерий или распространение сигнала описывается через степенные зависимости.