Как найти тангенс
Тангенс угла понадобится при решении задач по геометрии, физике и инженерным расчётам – например, чтобы определить наклон плоскости, высоту объекта по тени или угол поворота. Найти тангенс можно несколькими способами: через стороны треугольника, через синус и косинус, по специальной таблице или на калькуляторе.
Определение тангенса
Тангенс (обозначается tg α или tan α) – тригонометрическая функция, которая показывает отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.
- Противолежащий катет – сторона, лежащая напротив выбранного угла.
- Прилежащий катет – сторона, прилегающая к углу (не гипотенуза).
Тангенс существует для всех углов, кроме 90° + 180°·n (где n – целое число), потому что при этих углах косинус равен нулю, а деление на ноль невозможно.
Способ 1: через катеты прямоугольного треугольника
Самый прямой способ – подставить длины катетов в формулу:
tg α = a / b
где a – противолежащий катет, b – прилежащий катет.
Пример
Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Найти тангенс угла, лежащего против катета a = 3.
- Противолежащий катет: a = 3
- Прилежащий катет: b = 4
tg α = 3 / 4 = 0,75
Способ 2: через синус и косинус
Если синус и косинус угла уже известны, тангенс находится по формуле:
tg α = sin α / cos α
Это универсальное определение, которое работает для любых углов – не только для острого угла прямоугольного треугольника.
Пример
Дано: sin α = 0,6, cos α = 0,8.
tg α = 0,6 / 0,8 = 0,75
Способ 3: по таблице значений тангенсов
Для часто встречающихся углов значения тангенса запоминают или находят в таблице. Вот значения для основных углов от 0° до 180°:
| Угон | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| tg | 0 | √3/3 | 1 | √3 | не опр. | −√3 | −1 | −√3/3 | 0 |
В десятичном виде:
- tg 0° = 0
- tg 30° = 0,577
- tg 45° = 1
- tg 60° = 1,732
- tg 90° – не определён
- tg 120° = −1,732
- tg 135° = −1
- tg 150° = −0,577
- tg 180° = 0
Величины √3/3 и √3 легко получить, зная стороны «30-60-90» треугольника с катетами 1, √3 и гипотенузой 2.
Способ 4: с помощью калькулятора
Для произвольного угла используйте:
- Научный калькулятор – введите угол и нажмите клавишу tan.
- Смартфон – откройте встроенный калькулятор, переключите в инженерный режим.
- Онлайн-калькулятор – введите значение в поле.
Важно: проверьте режим ввода – градусы (DEG) или радианы (RAD). Угол 1,047 в радианах и 1,047° – это совершенно разные значения.
Нахождение тангенса через гипотенузу и один катет
Если известна гипотенуза c и один катет, второй катет находят по теореме Пифагора:
a = √(c² − b²)
Затем подставляют в формулу tg α = a / b.
Пример
Гипотенуза c = 10, прилежащий катет b = 8.
- a = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6
- tg α = 6 / 8 = 0,75
Основные формулы с тангенсом
Помимо базового определения, пригодятся формулы для работы с суммами, разностями и кратными углами:
- tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)
- tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β)
- tg(2α) = 2tg α / (1 − tg²α)
- tg(α/2) = sin α / (1 + cos α)
- Основное тригонометрическое тождество: 1 + tg²α = 1 / cos²α
Формулы суммы и разности позволяют вычислить тангенс сложного угла, если известны тангенсы составляющих.
Свойства функции тангенс
- Область определения: все действительные числа, кроме 90° + 180°·n (π/2 + πn).
- Область значений: от −∞ до +∞ (все действительные числа).
- Период: 180° (π).
- Нечётность: tg(−α) = −tg(α) – функция симметрична относительно начала координат.
- Монотонность: на интервале (−90°, 90°) тангенс строго возрастает.
- Нули функции: tg α = 0 при α = 0°, 180°, 360°, то есть при α = 180°·n.
Обратная функция – арктангенс
Когда нужно найти угол по известному значению тангенса, используют арктангенс (arctg или arctan).
arctg(x) = α, если tg α = x.
Пример
tg α = √3. Какой это угол?
arctg(√3) = 60°
Калькуляторы обычно возвращают результат в диапазоне (−90°, 90°). Для углов в других четвертях нужно дополнительно учитывать признаки синуса и косинуса.