Как найти сторону через биссектрису: формулы расчёта

Формула длины биссектрисы через три стороны

Если в треугольнике $ABC$ известны длины всех сторон $BC = a$ , $AC = b$ , $AB = c$ , то длину биссектрисы $l_c$ , проведённой к стороне $AB$ , находят по формуле, выведенной из теоремы Стюарта:

l_c = \sqrt{ab - \frac{abc^2}{(a+b)^2}} = \sqrt{ab\left(1 - \frac{c^2}{(a+b)^2}\right)}

где $a$ и $b$ — стороны, образующие угол $C$ , к которому проведена биссектриса, а $c$ — делимая сторона.

Эту же формулу можно записать через периметр $p = \frac{a+b+c}{2}$ :

l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}

Формула через угол и прилежащие стороны

Если известны две стороны $a$ и $b$ и угол $\gamma$ между ними, длина биссектрисы равна:

l_c = \frac{2ab\cos(\gamma/2)}{a+b}

Эта формула удобна, когда в задаче заданы стороны и угол, но неизвестна третья сторона.

Как найти сторону треугольника по известной биссектрисе

Обратная задача — нахождение стороны через длину биссектрисы — решается с помощью того же свойства биссектрисы. Из формулы $l_c^2 = ab - mn$ и соотношения $\frac{m}{n} = \frac{a}{b}$ следует:

m = \frac{ac}{a+b}, \quad n = \frac{bc}{a+b}

Подставляя в формулу для $l_c^2$ , получаем уравнение относительно $c$ :

l_c^2 = ab - \frac{abc^2}{(a+b)^2}

Отсюда можно выразить $c$ :

c = (a+b)\sqrt{\frac{ab - l_c^2}{ab}}

Частный случай: равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике биссектриса равна высоте:

l = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Следовательно, сторона через биссектрису:

a = \frac{2l}{\sqrt{3}}

Пример. Если биссектриса равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$ , то сторона $a = \frac{2 \cdot 11\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 22$ .

Пример решения задачи

Задача. В треугольнике $ABC$ стороны $AC = 5$ , $BC = 7$ , а биссектриса $CD$ , проведённая к стороне $AB$ , равна $4\sqrt{3}$ . Найдите сторону $AB$ .

Решение.

Обозначим $AB = c$ , $AD = m$ , $DB = n$ .

По свойству биссектрисы:

\frac{m}{n} = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{7}

Следовательно, $m = \frac{5c}{12}$ , $n = \frac{7c}{12}$ .

По теореме о биссектрисе:

CD^2 = AC \cdot BC - AD \cdot DB

(4\sqrt{3})^2 = 5 \cdot 7 - \frac{5c}{12} \cdot \frac{7c}{12}

48 = 35 - \frac{35c^2}{144}

13 = \frac{35c^2}{144}

c^2 = \frac{13 \cdot 144}{35} = \frac{1872}{35}

c = \sqrt{\frac{1872}{35}} = 12\sqrt{\frac{13}{35}}

При необходимости рационализуем: $c = \frac{12\sqrt{455}}{35} \approx 7,3$ .

Ответ: $AB = 12\sqrt{\frac{13}{35}}$ или $\frac{12\sqrt{455}}{35}$ .

Когда биссектриса совпадает со стороной

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. В этом случае по теореме Пифагора можно найти боковую сторону:

a = \sqrt{l^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2}

где $l$ — биссектриса (высота), $c$ — основание.

Часто задаваемые вопросы

Чему равна биссектриса треугольника?

Длина биссектрисы вычисляется по формуле l(c) = √(ab(1 − c²/(a+b)²)), где a и b — стороны, прилежащие к углу, а c — противолежащая сторона. Также можно использовать формулу через угол: l(c) = 2ab·cos(γ/2)/(a+b).

Как найти сторону равностороннего треугольника через биссектрису?

В равностороннем треугольнике биссектриса равна l = a√3/2, где a — сторона. Отсюда сторона равна a = 2l/√3. Если биссектриса равна 6√3, то сторона составляет 12.

Можно ли найти сторону треугольника, зная биссектрису и две другие стороны?

Да. Из формулы l(c)² = ab - mn, где m и n — отрезки третьей стороны, и свойства биссектрисы m/n = a/b, можно выразить c = m+n. Для равностороннего треугольника задача решается однозначно, для разностороннего — через систему уравнений.

В чём разница между биссектрисой и медианой?

Биссектриса делит угол пополам, а медиана делит сторону пополам. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является и медианой, и высотой. В произвольном треугольнике эти линии различны.

Какое свойство биссектрисы помогает найти отрезки стороны?

Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: m/n = a/b. Отсюда m = ac/(a+b) и n = bc/(a+b), где c = m+n — третья сторона.

Похожие калькуляторы и статьи