Чему равна сумма смежных углов?

Сумма смежных углов всегда равна 180°. Это следует из того, что их необщие стороны являются дополнительными лучами, а вместе образуют развёрнутый угол. Значит, чтобы найти один угол по другому, нужно вычесть известный из 180°.

Может ли сумма двух смежных углов быть больше 180°?

Нет. Смежные углы по определению всегда составляют развёрнутый угол, а его градусная мера фиксирована — 180°. Если на чертеже углы в сумме дают больше или меньше 180°, значит, они не являются смежными.

Как найти смежный угол, если неизвестны оба?

Нужно использовать дополнительное условие: разность, отношение или связь с другими элементами задачи — например, с вертикальным углом или с углами треугольника. Сумму 180° запишут как уравнение x + y = 180°, а второй уравнение поставит второй связь.

Чему равен угол, смежный с прямым?

Тоже прямому — 90°. Это частный случай свойства: 180° − 90° = 90°. Полезное правило запомнить: если один из смежных углов прямой, вторая пара делится на два прямых угла.

Как найти смежный угол через вертикальные углы?

Сначала найдите вертикальный угол: он равен известному по свойству равенства вертикальных углов. Затем смежный с ним считается по общей формуле 180° − вертикальный. Такой шаг — стандартная схема при пересечении двух прямых.

Как найти оба смежных угла по их отношению?

Обозначьте одну часть отношения через x. Если, например, отношения 2 : 7, то углы равны 2x и 7x, а уравнение 2x + 7x = 180° даёт x = 20°. Ответ — 40° и 140°. Перед записью уравнения проверьте, что числа отношения — доли, а не градусы.

Как найти смежный угол: формула и примеры

Нашли один угол и нужно второй? Смежный угол считается за одно действие: из 180° вычитаем известную величину. Но если в условии нет готового числа — например, дано только отношение углов или их разность, — потребуется короткое уравнение. Разберём оба сценария и пройдём по типичным задачам.

Что такое смежный угол

Смежные углы — два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой (образуют прямую линию).

Если из точки $O$ на прямой $AB$ провести луч $OC$ , то углы $AOC$ и $BOC$ будут смежными: сторона $OC$ — общая, а лучи $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой.

Важно: смежными считаются именно углы, составляющие вместе развёрнутый угол. Если на чертеже два угла просто «стоят рядом», но их необщие стороны не образуют прямую, — это не смежные углы, и свойство на них не применяется.

Свойство смежных углов

Ключевое свойство, на котором основан весь алгоритм поиска:

\alpha + \beta = 180^{\circ}

где $\alpha$ и $\beta$ — градусные меры двух смежных углов. Из этого свойства вытекает формула поиска:

\beta = 180^{\circ} - \alpha

Следствия, которые помогают быстро мыслить:

если один из смежных углов острый, второй обязательно тупой;
если один тупой, второй — острый;
если один прямой (90°), второй тоже прямой: $180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ ;
если два угла равны, то равны и их смежные партнёры.

Пошаговый алгоритм

Проверь по чертежу, что углы действительно смежные: одна сторона общая, две другие на одной прямой.
Запиши свойство: $\alpha + \beta = 180^{\circ}$ .
Если известна мера одного угла — вычти её из 180°: $\beta = 180^{\circ} - \alpha$ .
Если обе меры неизвестны, а дана связь между ними (разность, отношение, связь с другим углом) — составь уравнение с переменной $x$ .
Реши уравнение и подставь $x$ обратно.
Проверь: смежные в сумме обязаны дать ровно 180°.

Примеры решения

Задача 1. Известен один из смежных углов

Угол $ABC = 115^{\circ}$ . Луч $BD$ проходит через вершину $B$ и лежит между сторонами $BA$ и $BC$ . Найди угол $DBC$ .

Решение. Луч $BD$ делит развёрнутый угол на два смежных угла: $ABD$ и $DBC$ . Значит:

\angle ABD + \angle DBC = 180^{\circ}

\angle DBC = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}

Проверка: $115^{\circ} + 65^{\circ} = 180^{\circ}$ . ✓

Ответ: $65^{\circ}$ .

Задача 2. Даны оба угла, неизвестна мера — известна разность

Два смежных угла. Один на 40° больше другого. Найди оба.

Решение. За $x$ возьмём меньший угол. Тогда больший запишется как $x + 40^{\circ}$ . Сумма смежных углов равна 180°:

x + (x + 40^{\circ}) = 180^{\circ}

2x + 40^{\circ} = 180^{\circ}

2x = 140^{\circ} \quad \Rightarrow \quad x = 70^{\circ}

Меньший угол $70^{\circ}$ , больший: $70^{\circ} + 40^{\circ} = 110^{\circ}$ .

Проверка: $70^{\circ} + 110^{\circ} = 180^{\circ}$ , разность $110^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$ . ✓

Ответ: $70^{\circ}$ и $110^{\circ}$ .

Задача 3. Дано отношение смежных углов

Смежные углы относятся как $2 : 7$ . Найди градусные меры.

Решение. Числа $2$ и $7$ — не градусы, а доли. Обозначим одну долю через $x$ :

2x + 7x = 180^{\circ}

9x = 180^{\circ} \quad \Rightarrow \quad x = 20^{\circ}

Первый угол: $2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ}$ . Второй: $7 \cdot 20^{\circ} = 140^{\circ}$ .

Проверка: $40^{\circ} + 140^{\circ} = 180^{\circ}$ . ✓

Ответ: $40^{\circ}$ и $140^{\circ}$ .

Задача 4. Смежный угол через вертикальные углы

Две прямые пересекаются и образуют четыре угла. Один из них равен $43^{\circ}$ . Найди остальные три.

Решение. Обозначим углы подряд: $\angle 1$ , $\angle 2$ , $\angle 3$ , $\angle 4$ . Пусть $\angle 1 = 43^{\circ}$ .

Вертикальный ему угол равен: $\angle 3 = 43^{\circ}$ (свойство равенства вертикальных углов).

Смежный с $\angle 1$ : $\angle 2 = 180^{\circ} - 43^{\circ} = 137^{\circ}$ .

Смежный с $\angle 3$ (также вертикальный $\angle 2$ ): $\angle 4 = 137^{\circ}$ .

Проверка: $43^{\circ} + 137^{\circ} + 43^{\circ} + 137^{\circ} = 360^{\circ}$ . ✓

Ответ: $43^{\circ}$ , $137^{\circ}$ , $43^{\circ}$ , $137^{\circ}$ .

Задача 5. Смежный угол и треугольник

В треугольнике $ABC$ угол $A = 70^{\circ}$ , угол $B = 55^{\circ}$ . Сторона $AC$ продолжена за точку $C$ до точки $D$ . Найди внешний угол $BCD$ .

Решение. Внешний угол $BCD$ и внутренний угол $BCA$ — смежные углы, сумма их равна 180°. Сначала найдём внутренний угол $C$ :

\angle C = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 55^{\circ}) = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}

Теперь внешний угол:

\angle BCD = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}

Проверка: $125^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ}$ . ✓

Ответ: $125^{\circ}$ .

Частые ошибки

Ошибка	Правильно
Считают, что два угла «рядом» — это обязательно смежные	Проверить: общая сторона + необщие на одной прямой
При отношении $2 : 7$ записывают $2 + 7 = 180$	Обозначить долю через $x$ : $2x + 7x = 180$
Получили $x = 70^{\circ}$ и сразу ответ	Перечитать вопрос: спрашивали, может быть, другой угол
Считают, что смежный всегда меньше	Он бывает и больше: 150° ↔ 30°
Не проверяют сумму	Итоговые углы должны давать 180° при сложении

Что запомнить

Смежный угол = $180^{\circ}$ минус известный. Это единственная формула, которую нужно держать в голове. Всё остальное — построение уравнений по условию задачи. Если на чертеже есть пересечение прямых — начните с вертикальных углов (они равны), затем идите к смежным через вычитание из 180°.

Похожие калькуляторы и статьи