МатематикаТригонометрия

Найти синус по косинусу: формула и примеры

Как найти sin α через cos α: используйте тождество sin²α + cos²α = 1. Подробно разберём выбор знака и покажем примеры с числами.

Калькулятор: найти синус по косинусу

Число от −1 до 1, можно дробь (например 3/5).
Подробное решение

Умение находить синус через косинус нужно почти всегда, когда в условии есть только cos α, а sin α требуется дальше по формуле (например, для построения треугольника, преобразований выражений или проверки тождества).

Основная формула: sin α через cos α

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.

Тогда:

  1. sin²α = 1 − cos²α
  2. sin α = ±√(1 − cos²α).

То есть синус равен корню из 1 − cos²α, но с возможным знаком + или −.

Частный случай: острый угол

Если известно, что α — острый (обычно для треугольника это так и есть), то sin α > 0, значит: sin α = √(1 − cos²α).

Как выбрать знак синуса (плюс/минус)

Если четверть угла не указана, ответ будет с двумя вариантами: ±. Чтобы получить единственное значение, используйте знак sin α.

Знаки по четвертям:

  • I четверть: sin α > 0 (берём “+”)
  • II четверть: sin α > 0 (берём “+”)
  • III четверть: sin α < 0 (берём “−”)
  • IV четверть: sin α < 0 (берём “−”)

Можно ориентироваться и по условию:

  • “острый угол” ⇒ sin α > 0
  • “тупой угол в нужном диапазоне” ⇒ выбирайте знак по четверти (или сразу задавайте диапазон для α).

Пошаговый алгоритм расчёта

  1. Проверьте входные данные. Для реального угла должно выполняться cos α ∈ [-1; 1].
  2. Найдите sin²α:
    sin²α = 1 − cos²α.
  3. Найдите модуль sin:
    |sin α| = √(sin²α) = √(1 − cos²α).
  4. Выберите знак по четверти или по условию (острый/тупой угол).
  5. (При необходимости) Переведите в десятичный вид или сократите дробь.

Примеры вычислений

Пример 1: найти sin α, если cos α = 0,6 и угол в I четверти

  1. cos²α = 0,6² = 0,36
  2. sin²α = 1 − 0,36 = 0,64
  3. |sin α| = √0,64 = 0,8
  4. В I четверти sin α > 0, значит sin α = 0,8.

Проверка: 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1.

Пример 2: cos α = 3/5, угол в IV четверти

  1. cos²α = (3/5)² = 9/25
  2. sin²α = 1 − 9/25 = 16/25
  3. |sin α| = √(16/25) = 4/5
  4. В IV четверти sin α < 0, значит sin α = −4/5.

Пример 3: cos α = −1/2, угол во II четверти

  1. cos²α = (−1/2)² = 1/4
  2. sin²α = 1 − 1/4 = 3/4
  3. |sin α| = √(3/4) = √3/2
  4. Во II четверти sin α > 0, значит sin α = √3/2.

Пример 4: что получится без информации о четверти

Если дана только cos α = 0,6, то: sin α = ±√(1 − 0,6²) = ±0,8.

Оба значения подходят по тождеству, но какой из них верный — зависит от того, где расположен угол α.

Частые случаи и проверки

  1. Если cos α = 1 или cos α = −1, то
    sin²α = 1 − 1 = 0 ⇒ sin α = 0.

  2. Если cos α = 0, то
    sin²α = 1 ⇒ sin α = ±1 (знак — по четверти/условию).

  3. Если после вычислений подкоренное выражение получается чуть “отрицательным” (например, −0,0000001 из-за округления), обычно это признак погрешности. Физически должно быть не меньше нуля: можно аккуратно округлить до 0.

  4. Контроль формулой: всегда полезно проверять cos²α + sin²α = 1.

Типовые значения для ориентира

Для “классических” углов (градусы) тригонометрия часто даёт готовые пары sin α и cos α:

  • 0°: sin 0° = 0, cos 0° = 1
  • 30°: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2
  • 45°: sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2
  • 60°: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2
  • 90°: sin 90° = 1, cos 90° = 0

Если ваш cos α совпадает с табличным значением, синус легко восстановить — но знак всё равно определяется четвертью.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли однозначно найти синус, если известен только косинус?
Нет. Из тождества sin²α + cos²α = 1 получаем sin α = ±√(1 − cos²α), то есть два значения отличаются знаком. Чтобы выбрать правильный вариант, нужны дополнительные условия: четверть угла, “острый/тупой” угол или диапазон α.
Как правильно выбрать знак у sin α по четверти?
Знак sin зависит от четверти: в I и II четвертях sin α ≥ 0, в III и IV — sin α ≤ 0. Если угол строго внутри четверти, знак будет “+” или “−” соответственно. Поэтому, зная cos α и номер четверти, вы получаете единственный ответ.
Что делать, если cos α задан дробью или числом с запятой?
Дробь удобнее перевести в квадрат и подставить в формулу: 1 − cos²α. Число с запятой обычно трактуют как десятичную дробь (например, −0,8 = −0.8). Для точности полезно сначала считать sin², а уже затем брать корень.
Влияет ли то, что угол задан в градусах или радианах?
Если вам уже известно значение cos α, то единицы измерения угла не важны: формула sin²α = 1 − cos²α работает в любом случае. Градусы/радианы понадобятся только когда вы сначала вычисляете косинус по самому углу.
Как проверить, что ответ найден верно?
Самая простая проверка: подставьте результат в равенство cos²α + sin²α = 1. Если получили близкое к 1 (с небольшим отклонением из‑за округлений), значит вычисления корректны. При сильном расхождении проверьте знак и арифметику.
Можно ли найти sin α, если cos α = ±1 или cos α = 0?
Да. Если cos α = 1 или cos α = −1, то sin α = 0. Если cos α = 0, то sin α = ±1 (знак снова выбирается по четверти или по условию “острый/тупой”). Эти случаи часто встречаются и упрощают расчёт.

Похожие калькуляторы и статьи