Как найти радиус описанной окружности

Что такое описанная окружность

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Её центр равноудалён от каждой вершины и лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. Радиус обозначается заглавной буквой R.

Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Для четырёхугольников это возможно не всегда — нужна сумма противоположных углов, равная 180°.

Общая формула для треугольника

Универсальный способ найти радиус описанной окружности произвольного треугольника — использовать стороны и площадь:

$$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$$

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $S$ — его площадь.

Площадь можно найти по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}$$

Подставив, получим расширенную формулу:

$$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

Пример

Стороны треугольника: 13, 14, 15. Находим полупериметр:

$$p = \frac{13+14+15}{2} = 21$$

Площадь по формуле Герона:

$$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$$

Радиус:

$$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8,\!125$$

Через теорему синусов

Если известна сторона и противолежащий угол, радиус находится быстрее:

$$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$$

Это следствие теоремы синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

Подходит, когда в условии есть углы — это избавляет от вычисления площади.

Пример

Сторона $a = 10$, противолежащий угол $\alpha = 30°$:

$$R = \frac{10}{2 \cdot \sin 30°} = \frac{10}{2 \cdot 0,\!5} = 10$$

Прямоугольный треугольник

Для прямоугольного треугольника формула упрощается. Прямой угол опирается на диаметр, поэтому гипотенуза является диаметром описанной окружности:

$$R = \frac{c}{2}$$

где $c$ — гипотенуза. Центр окружности находится на середине гипотенузы.

Пример

Катеты 6 и 8. Гипотенуза по теореме Пифагора:

$$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$$ $$R = \frac{10}{2} = 5$$

Равносторонний треугольник

Если сторона равностороннего треугольника равна $a$:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Пример

При $a = 6$:

$$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3,\!46$$

Равнобедренный треугольник

Для треугольника с боковыми сторонами $a$ и основанием $b$:

$$R = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$$

Эта формула получается подстановкой в общее выражение с учётом $c = a$.

Пример

Боковая сторона $a = 10$, основание $b = 12$:

$$R = \frac{100}{\sqrt{400 - 144}} = \frac{100}{\sqrt{256}} = \frac{100}{16} = 6,\!25$$

Правильный многоугольник

Для правильного $n$-угольника со стороной $a$:

$$R = \frac{a}{2 \sin \frac{180°}{n}}$$

Частные случаи

Многоугольник	Формула радиуса
Квадрат ($n=4$)	$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Правильный шестиугольник ($n=6$)	$R = a$
Правильный треугольник ($n=3$)	$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

У правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне — это удобно запомнить.

Прямоугольник и квадрат

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр — точка пересечения диагоналей, радиус — половина диагонали.

Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

$$R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$

Для квадрата со стороной $a$:

$$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Пример

Прямоугольник 6×8:

$$R = \frac{\sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Равнобедренная трапеция

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Если основания $a$ и $b$, боковая сторона $c$, то:

$$R = \frac{c \cdot \sqrt{ab + c^2}}{4 \cdot \sqrt{p(p - c)}}, \quad p = \frac{a + b + 2c}{2}$$

Формула громоздкая, поэтому на практике чаще находят радиус через координаты вершин или разбивают трапецию на треугольники и применяют общую формулу $R = \frac{abc}{4S}$ к одному из них.

Краткая сводка формул

Фигура	Исходные данные	Формула
Произвольный треугольник	стороны $a, b, c$, площадь $S$	$R = \frac{abc}{4S}$
Произвольный треугольник	сторона $a$, угол $\alpha$	$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$
Прямоугольный треугольник	гипотенуза $c$	$R = \frac{c}{2}$
Равносторонний треугольник	сторона $a$	$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$
Равнобедренный треугольник	боковая $a$, основание $b$	$R = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$
Квадрат	сторона $a$	$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Прямоугольник	стороны $a, b$	$R = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$
Правильный $n$-угольник	сторона $a$	$R = \frac{a}{2\sin\frac{180°}{n}}$

Типичные ошибки

Путаница вписанной и описанной окружности. Вписанная касается сторон, описанная проходит через вершины. Формулы $r = S/p$ и $R = abc/(4S)$ — разные, их нельзя смешивать.

Неверный угол в теореме синусов. Угол должен быть противолежащим стороне, которую вы подставляете в числитель. Сторона $a$ — угол $\alpha$, сторона $b$ — угол $\beta$.

Использование общей формулы для прямоугольного треугольника. Это работает, но избыточно — достаточно разделить гипотенузу на два.

Часто задаваемые вопросы

Чем отличается вписанная окружность от описанной?

Вписанная окружность касается всех сторон многоугольника изнутри, а описанная проходит через все его вершины. Для треугольника обе окружности всегда существуют, но центры у них разные: центр вписанной лежит на пересечении биссектрис, центр описанной — на пересечении серединных перпендикуляров.

Где находится центр описанной окружности тупоугольного треугольника?

Центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит вне самого треугольника — за пределами его наибольшей стороны. У остроугольного треугольника центр находится внутри, а у прямоугольного — точно на середине гипотенузы. Это важно учитывать при построении и проверке расчётов.

Можно ли описать окружность вокруг любого четырёхугольника?

Нет, не вокруг любого. Необходимое и достаточное условие — сумма противоположных углов должна равняться 180°. Это выполняется для прямоугольника, квадрата и равнобедренной трапеции. Параллелограмм и ромб (если он не квадрат) не удовлетворяют этому условию, и описать вокруг них окружность нельзя.

Как связаны теорема синусов и радиус описанной окружности?

Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов через удвоенный радиус описанной окружности. Формула выглядит так: a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R. Это позволяет найти радиус, если известна сторона и противолежащий угол — достаточно разделить сторону на удвоенный синус угла.

Почему радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы?

Прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому гипотенуза является диаметром описанной окружности. Радиус равен половине диаметра, то есть половине гипотенузы. Центр окружности находится на середине гипотенузы — это точка пересечения серединных перпендикуляров.