Как найти площадь пятиугольника: формулы и примеры

Пятиугольник — это многоугольник с пятью углами и пятью сторонами. Чаще всего на практике встречается правильный пятиугольник (пентагон), у которого все стороны и углы равны. Однако существуют и неправильные пятиугольники, где длины сторон различаются. В этой статье разберём все основные способы вычисления площади, приведём формулы и подробные примеры.

Площадь правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник можно разбить на 5 равных равнобедренных треугольников с вершиной в центре. Площадь всего пятиугольника равна сумме площадей этих треугольников. Ниже приведены формулы для разных исходных данных.

1. Через сторону и апофему

Апофема (обозначается $a$) — это отрезок, соединяющий центр пятиугольника с серединой любой его стороны. Апофема перпендикулярна стороне и является высотой каждого из пяти треугольников.

Формула площади через периметр $P$ и апофему $a$:

$S = \frac{P \cdot a}{2}$

Поскольку у правильного пятиугольника периметр $P = 5 \cdot s$, где $s$ — длина стороны, формулу можно записать так:

$S = \frac{5s \cdot a}{2}$

Пример.
Дан правильный пятиугольник со стороной 6 см и апофемой 4,13 см.
$P = 5 \cdot 6 = 30$ см.
$S = \frac{30 \cdot 4,13}{2} = 61,95$ см².

2. Через одну сторону (без апофемы)

Если апофема неизвестна, можно вычислить площадь, зная только сторону. Для правильного $n$-угольника площадь равна:

$S = \frac{n}{4} \cdot s^2 \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{n}\right)$

Для пятиугольника $n=5$:

$S = \frac{5}{4} \cdot s^2 \cdot \operatorname{ctg}(36^\circ)$

Упрощённое числовое выражение (котангенс 36° ≈ 1,37638):

$S \approx 1,72048 \cdot s^2$

Пример.
Сторона пятиугольника равна 8 см.
$S \approx 1,72048 \cdot 8^2 = 1,72048 \cdot 64 = 110,11$ см².

Если под рукой нет калькулятора с тригонометрическими функциями, можно использовать точную формулу:

$S = \frac{5s^2}{4} \cdot \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{5}}$

Или в более компактном виде:

$S = \frac{s^2}{4} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}$

Пример с точной формулой.
$s = 8$ см.
$S = \frac{64}{4} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} = 16 \cdot \sqrt{25 + 22,3607} = 16 \cdot \sqrt{47,3607} \approx 16 \cdot 6,882 = 110,11$ см².

3. Через радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности $R$ — расстояние от центра до вершины пятиугольника. Формула площади:

$S = \frac{5}{2} R^2 \sin(72^\circ)$

Поскольку $\sin 72^\circ \approx 0,95106$, получаем $S \approx 2,37764 \cdot R^2$.

Пример.
Радиус описанной окружности равен 5 см.
$S \approx 2,37764 \cdot 25 = 59,44$ см².

4. Через радиус вписанной окружности (апофему)

Если известна только апофема $a$ (радиус вписанной окружности), площадь можно найти по формуле:

$S = 5 a^2 \cdot \operatorname{tg}(36^\circ)$

Так как $\operatorname{tg}36^\circ \approx 0,72654$, то $S \approx 3,6327 \cdot a^2$.

Пример.
Апофема равна 3 см.
$S \approx 3,6327 \cdot 9 = 32,69$ см².

Площадь неправильного пятиугольника

Для неправильного пятиугольника универсальной формулы нет. Действовать нужно одним из двух способов:

1. Разбиение на треугольники.
   Выберите одну вершину и проведите из неё диагонали ко всем остальным вершинам (кроме соседних). Пятиугольник разделится на три треугольника. Найдите площадь каждого треугольника (по формуле Герона или через основание и высоту) и сложите их.

2. Метод дополнения до прямоугольника.
   Опишите вокруг пятиугольника прямоугольник так, чтобы его стороны касались крайних вершин. Вычислите площадь прямоугольника и вычтите площади «лишних» частей (прямоугольных треугольников по краям).

Эти методы применимы к любому многоугольнику, а не только к пятиугольнику.

Практические рекомендации

• Если пятиугольник правильный, проще всего сразу использовать готовую формулу $S \approx 1,72048 \cdot s^2$.
• При наличии чертежа часто известна апофема — тогда удобна формула $S = \frac{P \cdot a}{2}$.
• Для неправильных фигур разбивайте на треугольники — это самый надёжный способ.

На нашем сайте вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором площади пятиугольника: достаточно ввести длину стороны и, если нужно, апофему или радиус — система мгновенно выполнит расчёт по всем приведённым формулам.

Заключение

Вычисление площади пятиугольника не требует сложной математики, если знать подходящую формулу. Для правильного пятиугольника существует несколько вариантов — через сторону, апофему или радиус описанной окружности. Неправильные пятиугольники сводятся к сумме площадей треугольников. Выбирайте способ, который удобнее в вашей задаче, и сверяйте результат с нашим калькулятором.