Площадь правильного треугольника: формула, примеры
Узнайте, как найти площадь правильного треугольника по формуле через сторону, радиусы описанной и вписанной окружности. Примеры вычислений и пояснения.
Правильный треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны, а каждый угол составляет 60°. Такая фигура часто встречается в геометрии, строительстве и дизайне. Чтобы найти её площадь, можно использовать несколько простых формул, зная длину стороны, высоту или радиусы описанной и вписанной окружностей.
Основная формула: через сторону
Самый распространённый способ — вычислить площадь правильного треугольника по длине его стороны:
S = a²√3 / 4
где a — сторона треугольника.
Эта формула выводится из классической формулы площади треугольника S = ½ * основание * высота. Высота правильного треугольника равна a√3/2, поэтому S = ½ * a * (a√3/2) = a²√3/4.
Пример.
Дано: сторона a = 8 см.
S = 8² * √3 / 4 = 64 * 1,732 / 4 ≈ 27,71 см².
Ответ: площадь ≈ 27,71 см².
Через радиус описанной окружности
Правильный треугольник можно вписать в окружность. Если известен радиус описанной окружности R, площадь находится по формуле:
S = (3√3 / 4) * R²
Как связаны сторона и радиус: a = R√3. Подставив это в основную формулу, получаем выражение через R.
Пример.
Дано: R = 5 см.
S = (3 * 1,732 / 4) * 25 = (5,196 / 4) * 25 = 1,299 * 25 ≈ 32,48 см².
Через радиус вписанной окружности
В любой правильный треугольник можно вписать окружность. Если известен её радиус r, площадь считается так:
S = 3√3 * r²
Связь между r и a: a = 2r√3. После подстановки в формулу через сторону получается приведённый выше вид.
Пример.
Дано: r = 3 см.
S = 3 * 1,732 * 9 = 5,196 * 9 ≈ 46,76 см².
Через высоту
Если вместо стороны дана высота h, площадь можно вычислить без промежуточного нахождения стороны:
S = h² / √3
Формула получается из соотношения h = a√3/2 → a = 2h/√3, после подстановки в S = a²√3/4.
Пример.
Дано: h = 10 см.
S = 100 / 1,732 ≈ 57,74 см².
Сравнение формул
| Исходные данные | Формула | Когда удобно |
|---|---|---|
| Сторона a | S = a²√3/4 | Самый частый случай |
| Радиус описанной окружности R | S = (3√3/4)R² | Если треугольник вписан в окружность |
| Радиус вписанной окружности r | S = 3√3 r² | Если известна вписанная окружность |
| Высота h | S = h²/√3 | Если высота задана или легко измеряется |
Выбирайте ту формулу, которая соответствует известным вам величинам. Если вы знаете сторону, не имеет смысла сначала искать радиус — сразу применяйте основную формулу.
Проверка расчётов
Все формулы дают одинаковый результат для одного треугольника. Например, для треугольника со стороной 6 см площадь будет ≈ 15,59 см². Если вы пересчитаете через высоту (h ≈ 5,196 см), радиус описанной (R ≈ 3,464 см) или вписанной (r ≈ 1,732 см) окружности, площадь останется той же. Это полезно для самопроверки.
Теперь у вас есть все необходимые инструменты, чтобы быстро и точно найти площадь правильного треугольника. Используйте их в учёбе, работе или повседневных задачах.