Как найти НОК чисел: способы, формулы и примеры

Определение НОК

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Обозначение: НОК(a, b), где a и b — числа, для которых ищется кратное.

Например, НОК(4, 6) = 12. Проверим: 12 ÷ 4 = 3 (целое), 12 ÷ 6 = 2 (целое). Число 12 кратно и 4, и 6, при этом меньше 12 такого числа не существует.

Зачем это нужно? В первую очередь — для приведения дробей к общему знаменателю при сложении и вычитании.

Способ 1: разложение на простые множители

Это универсальный и надёжный метод, который работает для любых чисел.

Алгоритм:

1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Выписать все простые множители первого числа.
3. Добавить к ним те простые множители из разложения второго числа, которых там нет.
4. Перемножить все выписанные множители.

Пример: найти НОК(12, 18)

Шаг 1. Разложим числа:

• 12 = 2 × 2 × 3
• 18 = 2 × 3 × 3

Шаг 2–3. Берём все множители из разложения 12: 2, 2, 3. Из разложения 18 добавляем недостающие — одну тройку (3 × 3 в разложении, но в нашем наборе уже есть одна тройка).

Шаг 4. НОК = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

Проверка: 36 ÷ 12 = 3, 36 ÷ 18 = 2 — оба делятся нацело.

Пример: найти НОК(8, 15)

• 8 = 2 × 2 × 2
• 15 = 3 × 5

Множители 8: 2, 2, 2. Множители 15: 3, 5 — добавляем все, так как они не пересекаются.

НОК = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

Числа 8 и 15 не имеют общих делителей (кроме 1) — это взаимно простые числа. Для таких чисел НОК всегда равен произведению: 8 × 15 = 120.

Способ 2: через НОД (наибольший общий делитель)

Между НОК и НОД двух чисел существует простая связь:

Это удобно, когда НОД находится легко или уже известен.

Пример: найти НОК(16, 24)

Шаг 1. Найдём НОД(16, 24).

Разложение:

• 16 = 2 × 2 × 2 × 2
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3

Общие множители: 2 × 2 × 2 = 8. Это НОД.

Шаг 2. Применим формулу:

Проверка: 48 ÷ 16 = 3, 48 ÷ 24 = 2 — всё верно.

Пример: найти НОК(7, 13)

Числа 7 и 13 — взаимно простые, их НОД = 1.

Способ 3: перебор кратных

Подходит для небольших чисел или когда нужно быстро получить ответ.

Алгоритм: выписывать кратные большего числа до тех пор, пока не найдётся число, тоже кратное меньшему.

Пример: найти НОК(5, 3)

Кратные 5: 5, 10, 15, 20… Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15…

Первое совпадение — 15. Это и есть НОК.

Для больших чисел этот метод может занять много времени, поэтому в учебных задачах предпочитают первые два способа.

НОК трёх и более чисел

Алгоритм остаётся тем же: раскладываем все числа и перемножаем каждый простой множитель в наибольшей степени.

Пример: найти НОК(6, 8, 12)

Раскладываем все числа:

• 6 = 2 × 3
• 8 = 2 × 2 × 2 = 2³
• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

Собираем каждый множитель с максимальной степенью:

• Двойка: максимальная степень 2³ = 8
• Тройка: максимальная степень 3¹ = 3

НОК = 8 × 3 = 24

Проверка: 24 ÷ 6 = 4, 24 ÷ 8 = 3, 24 ÷ 12 = 2 — все делятся нацело.

Частные случаи

Если одно число делится на другое

Если a делится на b, то НОК(a, b) = a.

Пример: НОК(12, 4) = 12, потому что 12 уже делится на 4.

Взаимно простые числа

Если числа не имеют общих делителей (кроме единицы), их НОК равен произведению.

НОК(a, b) = a × b, когда НОД(a, b) = 1.

Примеры пар взаимно простых чисел: (3, 7), (8, 9), (11, 25).

Отрицательные числа

Для отрицательных чисел НОК находят по модулю: НОК(-4, 6) = НОК(4, 6) = 12. Это работает, потому что множество кратных числа не зависит от его знака.

Сравнение способов

Выбирайте метод в зависимости от конкретной задачи — для экзамена достаточно освоить разложение на множители, и вы сможете решить любой пример.